Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
( ) Se z ∈ ℝ e x ≤ y, então x z ≤ y z;

Passo 1

O enunciado propõe a seguinte afirmação: “Se zinR e x<= y, então xz<= yz”. O conteúdo envolvido é a propriedade de multiplicação de desigualdades em R.

Passo 2

Relembrando a teoria: ao multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número real z, temos
  • se z>=0, a desigualdade é preservada, isto é, de x<= y segue xz<= yz;
  • se z<0, a desigualdade se inverte, ou seja, de x<= y segue xz>= yz.

Passo 3

Como o enunciado não impõe nenhuma condição sobre o sinal de z, resta o caso z<0, no qual a desigualdade se inverte e, portanto, a afirmação geral “ xz<= yz” falha.

Passo 4

Contrexemplo explícito: sejam
x=1, y=2, z=-1
Então x<= y porque 1<=2, mas
1cdot(-1)=-1, 2cdot(-1)=-2,
e como -1>-2, vemos que não vale -1<=-2. Logo a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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