Esboce a imagem das seguintes funções:
r5(t)=(cos t, cos ^2 t), t in R.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
vec r5(t) = l(cos t,,cos^2tr), tinR,
e pede para esboçar a imagem dessa curva no plano. Vamos eliminar o parâmetro para descobrir a forma da curva.

Passo 2

Definindo
x=cos t
e
y=cos^2t,
vemos imediatamente que
y = (cos t)^2 = x^2

Passo 3

Como cos t varia em [-1,1] quando t percorre R, o valor de x está restrito a
-1 ;<=; x ;<=; 1,
e, por consequência,
0 ;<=; y = x^2 ;<=; 1
Portanto, a imagem é o trecho da parábola y=x^2 para xin[-1,1].

Passo 4

Embora o parâmetro t faça a curva ser percorrida infinitas vezes (vai de (1,1) em t=0 descendo até (0,0) em t=pi/2, depois sobem de volta a (-1,1) em t=pi e retornam), o locus é sempre o mesmo trecho parabólico.

Resposta

A imagem de vec r5(t) é o trecho da parábola
y = x^2,
com x variando em [-1,1].

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