Calcule, usando integrais triplas, o volume de cada um dos conjuntos dados abaixo.
Passo 1
Vamos calcular o volume do conjunto definido pela inequação $ x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} \leqslant 1 $ usando integrais triplas. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais múltiplas e geometria de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral tripla para a região elipsoidal descrita e utilizar coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, observe que a inequação $ x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} \leqslant 1 $ representa uma elipsoide centrada na origem. Para calcular o volume dessa elipsoide, podemos usar coordenadas elipsoidais ou realizar uma mudança de variável que simplifique a expressão da região.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipsoide em uma esfera unitária. Definimos:
Com essa substituição, a inequação original se torna:
Isso corresponde a uma esfera de raio 1 no espaço $ (u, v, w) $.
Passo 4
Ao fazer essa mudança de variável, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana para ajustar a integral. As derivadas parciais são:
$$
\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} =
= \frac{1}{6}
$$
Então, o volume na nova coordenada será multiplicado pelo inverso desse determinante.
Então, o volume na nova coordenada será multiplicado pelo inverso desse determinante.
Passo 5
O volume de uma esfera de raio 1 é conhecido e dado por:
Portanto, o volume da elipsoide original será:
Resposta
O volume do conjunto é $ \frac{2\pi}{9} $.