Calcule, usando integrais triplas, o volume de cada um dos conjuntos dados abaixo.
x^2+4 y^2+9 z^2 <= 1 (Resp: 2 pi9)

Passo 1

Vamos calcular o volume do conjunto definido pela inequação $ x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} \leqslant 1 $ usando integrais triplas. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais múltiplas e geometria de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral tripla para a região elipsoidal descrita e utilizar coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, observe que a inequação $ x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} \leqslant 1 $ representa uma elipsoide centrada na origem. Para calcular o volume dessa elipsoide, podemos usar coordenadas elipsoidais ou realizar uma mudança de variável que simplifique a expressão da região.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipsoide em uma esfera unitária. Definimos:
u = x, v = 2y, w = 3z
Com essa substituição, a inequação original se torna:
u^2 + v^2 + w^2 <= 1
Isso corresponde a uma esfera de raio 1 no espaço $ (u, v, w) $.

Passo 4

Ao fazer essa mudança de variável, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana para ajustar a integral. As derivadas parciais são:
$$
\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} =
partial (x, y, z)partial (u, v, w) = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 13 = 16


= \frac{1}{6}
$$
Então, o volume na nova coordenada será multiplicado pelo inverso desse determinante.

Passo 5

O volume de uma esfera de raio 1 é conhecido e dado por:
Vesfera = 43pi (1)^3 = 43pi
Portanto, o volume da elipsoide original será:
Velipsoide = Vesfera times 16 = 43pi times 16 = 2pi9

Resposta

O volume do conjunto é $ \frac{2\pi}{9} $.

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