resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a temperatura
varia no tempo e no espaço numa barra. O conteúdo principal aqui é a equação do calor. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada de
em relação ao espaço
. Essa é a equação do calor, que modela como o calor se espalha numa barra ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos considerar as condições iniciais e de contorno:
- Condição inicial:
Isso nos dá a distribuição de temperatura na barra no instante inicial
.
- Condições de contorno:
A primeira condição diz que a temperatura na extremidade
é sempre zero. A segunda condição significa que não há fluxo de calor na extremidade
, ou seja, a inclinação da temperatura é zero nesse ponto.
Passo 4
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Substituindo isso na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
cuja solução geral é:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação de
com as condições de contorno:
-
implica -
implica
A solução geral da equação
depende do valor de
. Para termos não triviais, assumimos
, então podemos escrever
.
A solução geral é:
Passo 7
Aplicando a condição
:
Então,
.
Agora, aplicamos a condição
:
Primeiro, derivamos
:
Então,
Para que isso seja válido (sem
), precisamos que
.
Passo 8
A condição
ocorre quando:
Assim, os valores de
são:
E as soluções de
são:
Passo 9
Combinando as soluções de
e
, temos as soluções próprias:
A solução geral é a soma dessas soluções para todos os
:
Passo 10
Para determinar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Isso é uma série de Fourier seno, e os coeficientes
são dados por:
Resposta
A solução da equação dada é: