resolva:
& u t=a^wed>= 2 u x x & u(x, 0)=f(x), 0<x<1 & u(0, t)=0, u x(1, t)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a temperatura u(x, t) varia no tempo e no espaço numa barra. O conteúdo principal aqui é a equação do calor. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
ut = a^2 uxx
Aqui, ut é a derivada de u em relação ao tempo t , e uxx é a segunda derivada de u em relação ao espaço x . Essa é a equação do calor, que modela como o calor se espalha numa barra ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos considerar as condições iniciais e de contorno:
  • Condição inicial:
u(x, 0) = f(x), 0 < x < 1
Isso nos dá a distribuição de temperatura na barra no instante inicial t = 0 .
  • Condições de contorno:
u(0, t) = 0 e ux(1, t) = 0
A primeira condição diz que a temperatura na extremidade x = 0 é sempre zero. A segunda condição significa que não há fluxo de calor na extremidade x = 1 , ou seja, a inclinação da temperatura é zero nesse ponto.

Passo 4

Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de t :
u(x, t) = X(x) T(t)
Substituindo isso na equação do calor:
X(x) T'(t) = a^2 X''(x) T(t)
Dividindo ambos os lados por a^2 X(x) T(t) :
T'(t)a^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação.

Passo 5

Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para T(t) :
T'(t) + a^2 lambda T(t) = 0
cuja solução geral é:
T(t) = C e^-a^2 lambda t
  1. Para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação de X(x) com as condições de contorno:
  • u(0, t) = 0 implica X(0) = 0
  • ux(1, t) = 0 implica X'(1) = 0
A solução geral da equação X'' + lambda X = 0 depende do valor de lambda . Para termos não triviais, assumimos lambda > 0 , então podemos escrever lambda = mu^2 .
A solução geral é:
X(x) = A cos(mu x) + B sin(mu x)

Passo 7

Aplicando a condição X(0) = 0 :
X(0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0
Então, X(x) = B sin(mu x) .
Agora, aplicamos a condição X'(1) = 0 :
Primeiro, derivamos X(x) :
X'(x) = B mu cos(mu x)
Então,
X'(1) = B mu cos(mu) = 0
Para que isso seja válido (sem B = 0 ), precisamos que cos(mu) = 0 .

Passo 8

A condição cos(mu) = 0 ocorre quando:
mu = (2n + 1)pi2, n = 0, 1, 2, dots
Assim, os valores de lambda são:
lambdan = mun^2 = ( (2n + 1)pi2 )^2
E as soluções de Xn(x) são:
Xn(x) = Bn sin( (2n + 1)pi2 x )

Passo 9

Combinando as soluções de X(x) e T(t) , temos as soluções próprias:
un(x, t) = Bn sin( (2n + 1)pi2 x ) e^-a^2 ( (2n + 1)pi2 )^2 t
A solução geral é a soma dessas soluções para todos os n :
u(x, t) = sumn=0^infty Bn sin( (2n + 1)pi2 x ) e^-a^2 ( (2n + 1)pi2 )^2 t

Passo 10

Para determinar os coeficientes Bn , usamos a condição inicial u(x, 0) = f(x) :
f(x) = sumn=0^infty Bn sin( (2n + 1)pi2 x )
Isso é uma série de Fourier seno, e os coeficientes Bn são dados por:
Bn = 2 integral0^1 f(x) sin( (2n + 1)pi2 x ) dx

Resposta

A solução da equação dada é:
u(x, t) = sumn=0^infty [ 2 integral0^1 f(x) sin( (2n + 1)pi2 x ) dx ] sin( (2n + 1)pi2 x ) e^-a^2 ( (2n + 1)pi2 )^2 t

Exercícios relacionados