Determine o volume do sólido acima da região quadrada
e abaixo do paraboloide elíptico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está acima da região quadrada
e abaixo do paraboloide elíptico dado por
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são ótimas para calcular volumes em regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume que queremos é basicamente a soma de todas as pequenas “fatias” de volume acima de cada ponto na região
até o paraboloide. Matematicamente, isso é representado por uma integral dupla:
Aqui,
é a função que nos dá a altura
em qualquer ponto
da região
.
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, fixamos os limites de integração. Como
é o quadrado de
de 0 a 2 e
de 0 a 2, nossa integral fica:
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Simplificando:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é 48 unidades cúbicas.