Determine o volume do sólido acima da região quadrada R=[0,2] times[0,2] e abaixo do paraboloide elíptico z=16-x^2-2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está acima da região quadrada R = [0,2] times [0,2] e abaixo do paraboloide elíptico dado por z = 16 - x^2 - 2 y^2 . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são ótimas para calcular volumes em regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume que queremos é basicamente a soma de todas as pequenas “fatias” de volume acima de cada ponto na região R até o paraboloide. Matematicamente, isso é representado por uma integral dupla:
Volume = integral duplaR (16 - x^2 - 2y^2) , dx , dy
Aqui, 16 - x^2 - 2y^2 é a função que nos dá a altura z em qualquer ponto (x, y) da região R .

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, fixamos os limites de integração. Como R é o quadrado de x de 0 a 2 e y de 0 a 2, nossa integral fica:
Volume = integral0^2 integral0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy , dx
Vamos primeiro integrar em relação a y :
integral0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy = [16y - x^2y - 23y^3 ]0^2 = 16(2) - x^2(2) - 23(8) = 32 - 2x^2 - 163
Simplificando:
32 - 163 = 963 - 163 = 803
Então, a integral fica:
Volume = integral0^2 (803 - 2x^2) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a x :
integral0^2 (803 - 2x^2) , dx = 803x - 23x^3 gr|0^2
Substituindo os limites:
(803 times 2) - (23 times 8) = 1603 - 163 = 1443 = 48

Resposta

O volume do sólido é 48 unidades cúbicas.

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