Estime o valor da integral integral duplaD e^sen x seny d A, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

A questão pede pra gente estimar a integral integral duplaD e^sin x;sin y,dA,onde D é o disco de raio 2 centrado na origem. O conteúdo principal é cálculo de integrais duplas e uso de séries de Taylor pra aproximar o integrando quando não dá pra integrar direitinho.

Passo 2

Vamos expandir o exponencial em série de Taylor até a segunda ordem:
e^u=1+u+tfracu^22+cdots Aqui fazemos u=sin x,sin y.

Passo 3

Pela simetria do disco, a integral do termo linear cai a zero:
integral duplaDsin x,sin y,dA=0 Então o principal acréscimo vem de u^2/2.

Passo 4

Aproximamos então a integral por
integral duplaDe^sin x,sin ydAapproxintegral duplaDl(1+tfrac(sin x,sin y)^22r)dA =underbraceintegral duplaD1,dAárea de D+tfrac12integral duplaDsin^2x;sin^2y,dAá

Passo 5

A área de D é picdot2^2=4pi. Falta estimar I=integral duplaDsin^2x;sin^2y,dA. A gente aproxima tratando x e y quase independentes e distribuídos “quase” uniformemente em [-2,2]:
E(sin^2x)approx14integral-2^2sin^2x,dx=14l[x2-sin(2x)4r]-2^2approx0,595

Passo 6

Então a gente supõe E(sin^2x,sin^2y))approx E(sin^2x)^2approx0,595^2approx0,354. Daí
I=integral duplaDsin^2xsin^2y,dAapproxárea(D)cdot0,354=4picdot0,354á

Passo 7

Substituindo de volta:
integral duplaDe^sin x,sin ydAapprox4pi+tfrac12,(4picdot0,354)=4pi,(1+0,177)=4pitimes1,177approx14,8

Passo 8

Portanto, uma estimativa razoável para a integral é cerca de 14,8.

Resposta

integral duplaDe^sin x,sin ydAapprox14,8

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