Estime o valor da integral , onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.
Passo 1
A questão pede pra gente estimar a integralonde D é o disco de raio 2 centrado na origem. O conteúdo principal é cálculo de integrais duplas e uso de séries de Taylor pra aproximar o integrando quando não dá pra integrar direitinho.
Passo 2
Vamos expandir o exponencial em série de Taylor até a segunda ordem:
Aqui fazemos .
Passo 3
Pela simetria do disco, a integral do termo linear cai a zero:
Então o principal acréscimo vem de .
Passo 4
Aproximamos então a integral por
Passo 5
A área de D é picdot2^2=4pi. Falta estimar I=integral duplaDsin^2x;sin^2y,dA. A gente aproxima tratando x e y quase independentes e distribuídos “quase” uniformemente em [-2,2]: