Calcule, usando integral dupla, a área da superficie D , limitada pelas retas
e
.
Passo 1
O problema pede: calcular, usando integral dupla, a área da superfície
limitada pelas retas
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Pontos de interseção (obtidos resolvendo dois sinais de cada vez):
A tarefa é montar a integral dupla que dá a área de
e calcular essa integral.
Passo 2
Método escolhido e ideia central (aula rapidinha): para achar a área de uma região
no plano usa-se a integral dupla
Aqui
significa o elemento de área infinitesimal — na prática, escolhemos uma ordem de integração (por exemplo
) e escrevemos limites que descrevem
. Não se assuste: é só somar (integrar) pequenas tirinhas de largura
ao longo de cada
, e depois somar essas tirinhas para todos os
.
Passo 3
Descrever a região
de forma útil para integrar. Para um dado valor de
com
as retas diagonais têm coordenadas em
Para um mesmo
o menor e o maior valor de
entre essas duas retas são
e
. Observando que as duas trocam de posição em
, devemos separar os casos em
e em
. Em resumo, para cada
o intervalo em
que descreve
é
Passo 4
Montar a integral dupla (escolhi ordem
, porque para cada
achamos facilmente os extremos de
). Como a ordem relativa das curvas muda em
, partimos a integral:
Explicando: no primeiro trecho (
) temos
, então
vai de
até
. No segundo trecho (
) a ordem inverte e
vai de
até
.
Passo 5
Calcular a integral interna (a integração em
é simples:
). Para
:
Portanto a primeira parcela da área é
Passo 6
Calcular a primeira integral explicitamente. Uma primitiva de
é
. Assim
Passo 7
Agora a segunda parcela (
). Aqui a integral interna dá
Logo
Passo 8
Calcular a segunda integral. Uma primitiva de
é
. Então
Passo 9
Somando as duas parcelas obtemos a área total:
Uma observação útil para a prova: se você notar que
-largura da tirinha para cada
é
, pode escrever diretamente
e obter a mesma divisão em
, chegando a
.