Calcule, usando integral dupla, a área da superficie D , limitada pelas retas y=0, y=x, y=3 e x+y-3=0.

Passo 1

O problema pede: calcular, usando integral dupla, a área da superfície D limitada pelas retas
y=0,\quad y=x,\quad y=3,\quad x+y-3=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
y=0\quad(\text{eixo }x),\qquad y=3\quad(\text{reta horizontal superior}),
y=x\quad(\text{diagonal ascendente}),\qquad x+y-3=0\iff x=3-y\quad(\text{diagonal descendente}).
Pontos de interseção (obtidos resolvendo dois sinais de cada vez):
y=0\\ \text{ e }\\ y=x \Rightarrow (0,0),
y=0\\ \text{ e }\\ x+y=3 \Rightarrow (3,0),
y=3\\ \text{ e }\\ x+y=3 \Rightarrow (0,3),
y=3\\ \text{ e }\\ y=x \Rightarrow (3,3),
y=x\\ \text{ e }\\ x+y=3 \Rightarrow (3/2,\,3/2).
A tarefa é montar a integral dupla que dá a área de D e calcular essa integral.

Passo 2

Método escolhido e ideia central (aula rapidinha): para achar a área de uma região D no plano usa-se a integral dupla
\text{Área}(D)=\iint_{D} dA.Á
Aqui dA significa o elemento de área infinitesimal — na prática, escolhemos uma ordem de integração (por exemplo dx\,dy) e escrevemos limites que descrevem D. Não se assuste: é só somar (integrar) pequenas tirinhas de largura dx ao longo de cada y, e depois somar essas tirinhas para todos os y.

Passo 3

Descrever a região D de forma útil para integrar. Para um dado valor de y com 0\le y\le 3 as retas diagonais têm coordenadas em x
x=y\quad\text{(da reta }y=x\text{)}\quad\text{e}\quad x=3-y\quad\text{(da reta }x+y=3\text{)}.
Para um mesmo y o menor e o maior valor de x entre essas duas retas são \min(y,\,3-y) e \max(y,\,3-y). Observando que as duas trocam de posição em y=\tfrac{3}{2}, devemos separar os casos em 0\le y\le \tfrac{3}{2} e em \tfrac{3}{2}\le y\le 3. Em resumo, para cada y\in[0,3] o intervalo em x que descreve D é
x\in[\min(y,3-y),\;\max(y,3-y)].

Passo 4

Montar a integral dupla (escolhi ordem dx\,dy, porque para cada y achamos facilmente os extremos de x). Como a ordem relativa das curvas muda em y=\tfrac{3}{2}, partimos a integral:
\text{Área}(D)=\int_{0}^{3/2}\!\int_{x=y}^{x=3-y} dx\,dy \;+\; \int_{3/2}^{3}\!\int_{x=3-y}^{x=y} dx\,dy.Á
Explicando: no primeiro trecho ( 0\le y\le 3/2) temos y\le 3-y, então x vai de y até 3-y. No segundo trecho ( 3/2\le y\le 3) a ordem inverte e x vai de 3-y até y.

Passo 5

Calcular a integral interna (a integração em x é simples: \int_{a}^{b} dx = b-a). Para 0\le y\le 3/2:
\int_{x=y}^{x=3-y} dx = (3-y)-y = 3-2y.
Portanto a primeira parcela da área é
\int_{0}^{3/2} (3-2y)\,dy.

Passo 6

Calcular a primeira integral explicitamente. Uma primitiva de 3-2y é 3y-y^2. Assim
\int_{0}^{3/2} (3-2y)\,dy = \left[3y-y^2\right]_{0}^{3/2} = 3\cdot\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 0 = \frac{9}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}.

Passo 7

Agora a segunda parcela ( 3/2\le y\le 3). Aqui a integral interna dá
\int_{x=3-y}^{x=y} dx = y-(3-y)=2y-3.
Logo
\int_{3/2}^{3} (2y-3)\,dy.

Passo 8

Calcular a segunda integral. Uma primitiva de 2y-3 é y^2-3y. Então
\int_{3/2}^{3} (2y-3)\,dy = \left[y^2-3y\right]_{3/2}^{3} = (9-9) -\!\left(\frac{9}{4}-\frac{9}{2}\right) = 0 -\!\left(\frac{9}{4}-\frac{18}{4}\right) = 0 -\!\left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{4}.

Passo 9

Somando as duas parcelas obtemos a área total:
\text{Área}(D)=\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}.Á
Uma observação útil para a prova: se você notar que x-largura da tirinha para cada y é |3-2y|, pode escrever diretamente
\text{Área}(D)=\int_{0}^{3} |3-2y|\,dyÁ
e obter a mesma divisão em y=3/2, chegando a \tfrac{9}{2}.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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