Mostre que o volume máximo de um cilindro circular com área total fixa igual a 1 é
.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar o volume de um cilindro circular sabendo que a sua área total é fixa e igual a 1.
O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, que podemos tratar expressando uma variável em função da outra e usando derivada para encontrar o extremo.
O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, que podemos tratar expressando uma variável em função da outra e usando derivada para encontrar o extremo.
Passo 2
Denotemos por
o raio da base e por
a altura do cilindro.
A área total do cilindro é dada por
A área total
e o volume
é
Como
é fixo igual a 1, temos
Passo 3
Da restrição de área isolamos
:
Substituindo em
obtemos a função de uma só variável
Passo 4
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
Passo 5
Verificamos pela segunda derivada que este ponto é de máximo:
Agora calculamos
correspondente:
Passo 6
Por fim, o volume máximo é
Resposta
O volume máximo do cilindro, sob a condição de área total igual a 1, é