Mostre que o volume máximo de um cilindro circular com área total fixa igual a 1 é 13 raiz6 pi.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar o volume de um cilindro circular sabendo que a sua área total é fixa e igual a 1.
O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, que podemos tratar expressando uma variável em função da outra e usando derivada para encontrar o extremo.

Passo 2

Denotemos por r o raio da base e por h a altura do cilindro.
A área total A do cilindro é dada por
A = 2pi r^2 + 2pi r h,
e o volume V é
V = pi r^2 h
Como A é fixo igual a 1, temos
1 = 2pi r^2 + 2pi r h

Passo 3

Da restrição de área isolamos h:
h = 1 - 2pi r^22pi r
Substituindo em V obtemos a função de uma só variável
V(r) = pi r^2 cdot 1 - 2pi r^22pi r = r,(1 - 2pi r^2)2

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada
V'(r) = 1 - 6pi r^22
e igualamos a zero:
1 - 6pi r^2 = 0 Longrightarrow r^2 = 16pi Longrightarrow r = raiz16pi

Passo 5

Verificamos pela segunda derivada que este ponto é de máximo:
V''(r) = -6pi r < 0(para r>0)
Agora calculamos h correspondente:
2pi r^2 = 2picdot16pi = tfrac13 Longrightarrow h = 1 - tfrac132pi r = 2/32pi r = 13pi r = 13piraiz6pi = raiz63raizpi

Passo 6

Por fim, o volume máximo é
Vmax = pi r^2 h = pi cdot 16pi cdot raiz63raizpi = 16cdotraiz63raizpi = raiz618raizpi = 13raiz6pi

Resposta

O volume máximo do cilindro, sob a condição de área total igual a 1, é
boxed13raiz6pi

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