Sejam a, b, c, x, y in Z. Prove que se a mid b e a mid c, então a mid(b x+c y).

Passo 1

O enunciado afirma que a,b,c,x,yinZ e pede para mostrar que, se amid b e amid c, então também amid(bx+cy). O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade em Z. Vamos usar a definição: dizer que amid b significa que existe um inteiro m tal que b = a,m.

Passo 2

Como amid b, pela definição existe minZ tal que
b = a,m
De modo análogo, como amid c, existe ninZ tal que
c = a,n

Passo 3

Agora formamos a combinação linear:
b,x + c,y = (a,m),x + (a,n),y = a,(m,x) + a,(n,y) = a,(m,x + n,y)
Como m,x + n,y é um inteiro (produto e soma de inteiros), segue que b,x + c,y é múltiplo de a.

Resposta

Portanto, amid(bx+cy).

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