Calcule usando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5^{x+2}-25}{10 x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{5^{x+2}-25}{10x}
usando limites fundamentais, em especial o fato de que
\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.

Passo 2

Reescrevemos 5^{x+2} como 5^2\cdot5^x=25\cdot5^x, então o numerador fica
5^{x+2}-25 =25(5^x-1).
Logo,
\frac{5^{x+2}-25}{10x} =\frac{25(5^x-1)}{10x} =\frac{25}{10}\,\frac{5^x-1}{x}.

Passo 3

Aplicamos o limite fundamental para a base a=5:
\lim_{x\to0}\frac{5^x-1}{x}=\ln5.

Passo 4

Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{5^{x+2}-25}{10x} =\frac{25}{10}\,\ln5 =\frac{5}{2}\,\ln5.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}\ln5

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