a) Calcule (usando o método do Exemplo 2.7.3) a inversa das seguintes matrizes:
A=[rr 1 & 3 2 & -2 ], B=[rr 1 & -4 2 & 1 ]
b) Resolva os dados sistemas de equações usando a matriz inversa.
A X=[l 4 6 ] e B X=[l 2 1 ]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular as matrizes inversas de
A=1 & 32 & -2 e B=1 & -42 & 1
usando o método de Gauss–Jordan (Exemplo 2.7.3), e depois resolver os sistemas
A,X=46 e B,X=21
aplicando as matrizes inversas que encontramos.

Passo 2

Para achar A^-1 montamos o sistema aumentado l[Amid Ir] e fazemos eliminação de Gauss–Jordan:
l[Amid Ir] = 1 & 3 &mid& 1 & 0 2 & -2&mid& 0 & 1
Fazendo R2 R2-2R1 obtemos
1 & 3 &mid& 1 & 0 0 & -8&mid& -2& 1
Agora normalizamos R2 dividindo por -8 e em seguida eliminamos o 3 em cima fazendo R1 R1-3R2. O resultado final é
1 & 0 &mid& tfrac14 & tfrac38 0 & 1 &mid& tfrac14 & -tfrac18 ,
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A^-1 = tfrac14 & tfrac38 tfrac14 & -tfrac18

Passo 3

Para achar B^-1 repetimos o procedimento com
l[Bmid Ir] = 1 & -4 &mid& 1 & 0 2 & 1 &mid& 0 & 1
Aplicando R2 R2-2R1 fica
1 & -4 &mid& 1 & 0 0 & 9 &mid& -2& 1
Depois R2 tfrac19R2 e R1 R1+4R2 dão
1 & 0 &mid& tfrac19 & tfrac49 0 & 1 &mid& -tfrac29& tfrac19 ,
então
B^-1 = tfrac19 & tfrac49 -tfrac29 & tfrac19

Passo 4

Para resolver A,X=46 usamos
X=A^-146 = tfrac14 & tfrac38 tfrac14 & -tfrac18 46
Calculando cada entrada:
x1=tfrac14cdot4+tfrac38cdot6=1+tfrac188=tfrac134, x2=tfrac14cdot4-tfrac18cdot6=1-tfrac68=tfrac14

Passo 5

Para B,X=21 temos
X=B^-121 = tfrac19 & tfrac49 -tfrac29 & tfrac19 21,
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x1=tfrac19cdot2+tfrac49cdot1=tfrac69=tfrac23, x2=-tfrac29cdot2+tfrac19cdot1=-tfrac39=-tfrac13

Resposta

A^-1=tfrac14 & tfrac38tfrac14 & -tfrac18, B^-1=tfrac19 & tfrac49-tfrac29 & tfrac19
Para os sistemas,
A,X=46;Rightarrow;X=13/41/4, B,X=21;Rightarrow;X=2/3-1/3

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