Utilize o método da inversa para resolver os sistemas. Primeiro verifique se é possível utilizar este método.
Resolva os seguintes sistemas pelo método da inversa:
x+3 y+5 z & =b1 -x-2 y & =b2 2 x+5 y+4 z & =b3, se b1=1, b2=0 e b3=-1, e se b1=0, b2=1 e b3=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por método da inversa o sistema
Ax = b,
onde
A = 1 & 3 & 5 -1 & -2 & 0 2 & 5 & 4
e os vetores b valem primeiro ,(1,0,-1)^T e depois ,(0,1,1)^T. Vamos primeiro verificar se A é invertível (isto é, det(A)neq0), depois calcular A^-1 pelo adjunto, e finalmente obter x=A^-1b.

Passo 2

Calcular o determinante de A para ver se dá para usar a inversa.
det(A) = 1cdotdet-2 & 05 & 4 -3cdotdet-1 & 02 & 4 +5cdotdet-1 & -22 & 5
Calculando cada menor:
det-2 & 05 & 4=-8,
det-1 & 02 & 4=-4,
det-1 & -22 & 5=-1.
Logo
det(A)=1cdot(-8)-3cdot(-4)+5cdot(-1) =-8+12-5=-1neq0
Como det(A)=-1, A é invertível e podemos prosseguir.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos cofatores C, transpor para obter o adjunto e dividir por det(A).
Os cofatores são
C = -8 & 4 & -1 13 & -6 & 1 10 & -5 & 1 ,
então o adjunto é
adj(A)=C^T = -8 & 13 & 10 4 & -6 & -5 -1 & 1 & 1
Assim
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -1 cdot -8 & 13 & 10 4 & -6 & -5 -1 & 1 & 1 = 8 & -13 & -10 -4 & 6 & 5 1 & -1 & -1

Passo 4

Para b^(1)=(1,0,-1)^T, calculamos
x^(1) = A^-1,b^(1) = 8 & -13 & -10 -4 & 6 & 5 1 & -1 & -1 10-1 = 8cdot1 + (-13)cdot0 + (-10)cdot(-1) -4cdot1 + 6cdot0 + 5cdot(-1) 1cdot1 + (-1)cdot0 + (-1)cdot(-1) = 18 -9 2

Passo 5

Para b^(2)=(0,1,1)^T, tem-se
x^(2) = A^-1,b^(2) = 8 & -13 & -10 -4 & 6 & 5 1 & -1 & -1 011 = 8cdot0 + (-13)cdot1 + (-10)cdot1 -4cdot0 + 6cdot1 + 5cdot1 1cdot0 + (-1)cdot1 + (-1)cdot1 = -23 11 -2

Resposta

Para (b1,b2,b3)=(1,0,-1),
(x,y,z)=(18,,-9,,2)
Para (b1,b2,b3)=(0,1,1),
(x,y,z)=(-23,,11,,-2)

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