Si
e
. Calcule
C=B^-1 A B . Prove que se
A é inversível então
C é inversível e mais ainda
C^-1=B^-1 A^-1 B .
Passo 1
O enunciado dá
e pede para calcular
além de provar que se
é invertível então
também é invertível e que
O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, cálculo de inversa de
e uso da propriedade de similaridade.
Passo 2
Primeiro achamos
. Como
é ortogonal e
, vale
Em seguida calculamos
:
Por fim
Passo 3
Vamos comparar o determinante de
C com o de
A .
Logo, se
det Aneq0 , então
det Cneq0 e
C é invertível.
Passo 4
Para mostrar que de fato
basta verificar que
e de modo similar
(B^-1A^-1B),C=I . Portanto
C^-1=B^-1A^-1B .
Resposta
e se
A é invertível então
C também é, com