Si A=[ccx & y z & w] e B=[rr0 & -1 1 & 0]. Calcule C=B^-1 A B. Prove que se A é inversível então C é inversível e mais ainda C^-1=B^-1 A^-1 B.

Passo 1

O enunciado dá
e pede para calcular
além de provar que se é invertível então também é invertível e que
O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, cálculo de inversa de e uso da propriedade de similaridade.

Passo 2

Primeiro achamos . Como é ortogonal e , vale
Em seguida calculamos :
Por fim

Passo 3

Vamos comparar o determinante de C com o de A.
det C = wcdot x - (-z)cdot(-y) = wx - zy = det A
Logo, se det Aneq0, então det Cneq0 e C é invertível.

Passo 4

Para mostrar que de fato
C^-1 = B^-1A^-1B,
basta verificar que
C,(B^-1A^-1B) = (B^-1AB)(B^-1A^-1B) = B^-1Al[BB^-1r]A^-1B = B^-1A,I,A^-1B = B^-1B = I,
e de modo similar (B^-1A^-1B),C=I. Portanto C^-1=B^-1A^-1B.

Resposta

C = B^-1AB = w & -z-y & x,
e se A é invertível então C também é, com
C^-1 = B^-1A^-1B

Exercícios relacionados