Use determinante para encontrar todos os valores de k para os quais o sistema tem solução única.
r 3 x+3 y+z=1 4 x+k y+2 z=2 2 k x+2 k y+k z=1

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
O conteúdo da matéria é sistemas lineares e determinantes: um sistema quadrado tem solução única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A:
A = 3 & 3 & 1 4 & k & 2 2k & 2k & k
e lembramos que o sistema tem solução única exatamente quando
det(A)neq 0

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão pela primeira linha:
det(A) = 3det!k&22k&k -3det!4&22k&k +1det!4&k2k&2k
Agora cada menor:
det!k&22k&k = kcdot k - 2cdot(2k) = k^2 - 4k,
det!4&22k&k = 4cdot k - 2cdot(2k) = 4k - 4k = 0,
det!4&k2k&2k = 4cdot(2k) - kcdot(2k) = 8k - 2k^2 = 2k(4 - k)

Passo 4

Substituindo na expressão de det(A):
det(A) = 3l(k^2 - 4kr) - 3cdot 0 + 1cdot l(2k(4 - k)r) = 3k^2 - 12k + 2k(4 - k) = 3k^2 - 12k + 8k - 2k^2 = k^2 - 4k = k(k - 4)
Para que haja solução única, precisamos de det(A)neq 0, ou seja,
k(k - 4)neq 0 Longrightarrow k neq 0 e k neq 4

Resposta

O sistema tem solução única para todos os valores de k tais que
k neq 0 e k neq 4

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