Calcule, usando mudança para coordenadas polares, as seguintes integrais.
integral duplaD y e^x d A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2= 16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD y,e^x,dA
onde D é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo x^2+y^2=16. Vamos usar coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, com 0<= r<=4 e 0<=theta<=pi2.

Passo 2

Em coordenadas polares a integral vira
integraltheta=0^pi/2integralr=0^4 l(rsinthetar),e^,rcostheta,r,dr,dtheta =integral0^pi/2integral0^4r^2sintheta,e^rcostheta,dr,dtheta
Reescrevendo, podemos trocar a ordem de integração:
integral0^4l[integral0^pi/2sintheta,e^rcostheta,dthetar]r^2,dr

Passo 3

Calculemos primeiro
integral0^pi/2sintheta,e^rcostheta,dtheta
Use u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi2, u=0. Logo,
integral0^pi/2sintheta,e^rcostheta,dtheta =integralu=1^0(-du),e^r u =integral0^1e^r u,du =e^r-1r
A integral fica então
integral0^4r^2cdote^r-1r,dr =integral0^4r,(e^r-1),dr

Passo 4

Separe em duas integrais:
integral0^4r,e^r,dr;-;integral0^4r,dr
Para a primeira use integração por partes com u=r, dv=e^rdr:
integral0^4r,e^r,dr =l(r-1r)e^r|0^4 =(4-1)e^4-l(0-1r)e^0 =3e^4+1
Para a segunda:
integral0^4r,dr=4^22=8
Subtraindo,
integral0^4r,(e^r-1),dr =(3e^4+1)-8 =3e^4-7

Resposta

3e^4-7

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