Calcule, usando mudança para coordenadas polares, as seguintes integrais.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
16.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo
. Vamos usar coordenadas polares:
,
,
, com
e
.
Passo 2
Em coordenadas polares a integral vira
Reescrevendo, podemos trocar a ordem de integração:
Passo 3
Calculemos primeiro
Use
,
. Quando
,
; quando
,
. Logo,
A integral fica então
Passo 4
Separe em duas integrais:
Para a primeira use integração por partes com
,
:
Para a segunda:
Subtraindo,