Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 1 1(2 x-2)^4=+infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite infinito, que
limxto11(2x-2)^4=+infty
O conteúdo é a definição de limite quando o valor da função cresce além de qualquer limite M>0. Vamos mostrar que, dado qualquer M>0, existe de<a>0 tal que, se 0<|x-1|<de<a, então 1(2x-2)^4>M.

Passo 2

Observe que
2x-2 = 2(x-1) Longrightarrow (2x-2)^4 = 2^4(x-1)^4 = 16,(x-1)^4
Logo, para xneq1 temos
1(2x-2)^4 = 116,(x-1)^4

Passo 3

Queremos
116,(x-1)^4>M
Invertendo (tudo é positivo quando xneq1), isso equivale a
16,(x-1)^4<1M Long<=ftrightarrow (x-1)^4<116,M Long<=ftrightarrow |x-1|<l(116,Mr)^1/4

Passo 4

Para garantir que sempre 0<|x-1|<de<a implica 1(2x-2)^4>M, basta escolher
de<a = l(116,Mr)^1/4
Então, sempre que 0<|x-1|<de<a, obtemos
|x-1|<de<a Longrightarrow (x-1)^4<116,M Longrightarrow 116,(x-1)^4>M Longrightarrow 1(2x-2)^4>M

Passo 5

Concluímos que, para qualquer M>0, escolhendo de<a=(1/(16M))^1/4, sempre que 0<|x-1|<de<a a função supera esse M. Isso é exatamente a definição de
limxto11(2x-2)^4=+infty

Resposta

Para cada M>0, tomando
de<a = l(tfrac116,Mr)^1/4,
se 0<|x-1|<de<a então
1(2x-2)^4>M
Portanto
limxto11(2x-2)^4=+infty

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