Questão 9. Avalie a integral:
integral x(x^2+4)^52 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xl(x^2+4r)^52,dx
Este é um caso clássico de integração por substituição, pois dentro da potência aparece x^2+4 e no numerador temos x,dx, que se relaciona diretamente com a derivada de x^2+4.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+4
de modo que
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integral xl(x^2+4r)^52,dx = integral 12,u^-52,du
Agora integramos u^-52:
integral u^-52,du = u^-32-tfrac32 = -23,u^-32
Multiplicando pelo fator tfrac12 que ficou fora, resulta
12,l(-23,u^-32r) = -13,u^-32

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u = x^2+4, a primitiva é
-13,l(x^2+4r)^-32 + C

Resposta

-13,l(x^2+4r)^-32 + C

Exercícios relacionados