(a) O que significa dizer que f é diferenciável em (a, b) ?
(b) Como usualmente verificamos que f é diferenciável?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre diferenciabilidade de uma função f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R no ponto (a,b) e como, na prática, a gente costuma verificar essa propriedade. Vamos relembrar a definição dada por linearização e depois o critério prático usando derivadas parciais.

Passo 2

Dizemos que f é diferenciável em (a,b) se existe uma forma linear
L\colon\mathbb R^2\to\mathbb R
tal que, para (h,k)\to(0,0), o erro de aproximação
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)
é um termo de ordem menor que \sqrt{h^2+k^2}, isto é,
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k) = o\bigl(\sqrt{h^2+k^2}\bigr).

Passo 3

Na prática essa forma linear é exatamente dada pelas derivadas parciais de f em (a,b):
L(h,k)=f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k.
Logo, a condição de diferenciabilidade pode ser reescrita como
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)\,h-f_y(a,b)\,k} {\sqrt{h^2+k^2}}=0.

Passo 4

Para verificar que f é diferenciável em (a,b) costumamos:
  1. Calcular as derivadas parciais f_x(a,b) e f_y(a,b).
  2. Verificar que f_x e f_y existem numa vizinhança de (a,b) e são contínuas em (a,b).
Pelo teorema de diferença, continuidade das parciais garante a diferenciabilidade. Como alternativa, poderia-se provar diretamente que o quociente do passo 3 tende a zero.

Resposta

(a) f é diferenciável em (a,b) se existir a forma linear
L(h,k)=f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k
tal que
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)=o\bigl(\sqrt{h^2+k^2}\bigr).
(b) Usamos a regra prática de calcular f_x e f_y e checar que elas existem num entorno de (a,b) e são contínuas aí (ou então mostramos diretamente que o limite do passo 3 é zero).

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