(a) O que significa dizer que
é diferenciável em
?
(b) Como usualmente verificamos que
é diferenciável?
(b) Como usualmente verificamos que
Passo 1
O enunciado pergunta sobre diferenciabilidade de uma função
no ponto
e como, na prática, a gente costuma verificar essa propriedade. Vamos relembrar a definição dada por linearização e depois o critério prático usando derivadas parciais.
Passo 2
Dizemos que
é diferenciável em
se existe uma forma linear
tal que, para
, o erro de aproximação
é um termo de ordem menor que
, isto é,
Passo 3
Na prática essa forma linear é exatamente dada pelas derivadas parciais de
em
:
Logo, a condição de diferenciabilidade pode ser reescrita como
Passo 4
Para verificar que
é diferenciável em
costumamos:
- Calcular as derivadas parciais
e . - Verificar que
e existem numa vizinhança de e são contínuas em .
Pelo teorema de diferença, continuidade das parciais garante a diferenciabilidade. Como alternativa, poderia-se provar diretamente que o quociente do passo 3 tende a zero.
Resposta
(a)
é diferenciável em
se existir a forma linear
tal que
(b) Usamos a regra prática de calcular
e
e checar que elas existem num entorno de
e são contínuas aí (ou então mostramos diretamente que o limite do passo 3 é zero).