Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f_{x}(a, b) e f_{y}(a, b) existem, então f é diferenciável em (a, b).

Passo 1

O enunciado pergunta se a mera existência das derivadas parciais \,f_x(a,b) e \,f_y(a,b) implica que f é diferenciável em (a,b). O conteúdo envolvido é diferenciação de funções de duas variáveis e, em particular, a definição de diferenciabilidade que exige um bom aproximador linear com resto “pequeno” em todas as direções.

Passo 2

Recordando a definição, f é diferenciável em (a,b) se existe uma aplicação linear
L(h,k)=f_x(a,b)\,h + f_y(a,b)\,k
tal que
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)=o\bigl(\sqrt{h^2+k^2}\bigr)
quando (h,k)\to(0,0). A existência isolada de \,f_x e \,f_y apenas garante limites ao longo dos eixos, mas não controla o resto para direções gerais.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, apresentamos o clássico contraexemplo em (0,0):
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}]

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais em (0,0):
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.
Logo, \,f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 existem.

Passo 5

Entretanto, ao aproximar por exemplo na direção y=x temos, para t\neq0,
f(t,t)=\frac{t\cdot t}{t^2+t^2}=\frac{t^2}{2t^2}=\tfrac12.
O candidato a diferencial linear em (0,0) seria L(h,k)=0, e o resto
f(t,t)-L(t,t)=\tfrac12
não tende a zero quando (t,t)\to(0,0). Portanto o erro não é o\bigl(\sqrt{2}\,\lvert t\rvert\bigr) e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A afirmação é falsa. O exemplo
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
tem derivadas parciais em (0,0) iguais a zero, mas não satisfaz o critério de diferenciabilidade.

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