Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
integral duplaD(x^2+y^2) d A, onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada por x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, y=x, y=raiz33 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaDl(x^2+y^2r),dA
onde D está no primeiro quadrante, entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, e entre as retas y=x e y=tfracraiz33x. O conteúdo usado é a mudança para coordenadas polares, em que
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e ainda x^2+y^2=r^2.

Passo 2

Precisamos achar os limites de r e theta.
A condição nos círculos dá
1 <= r^2<= 4Longrightarrow 1<= r<= 2
As retas, em polares, são
y=x;Longrightarrow;theta=pi4, y=raiz33x;Longrightarrow;theta=arctan!l(tfracraiz33r)=pi6
Como D está entre essas duas retas, theta varia de pi/6 a pi/4.

Passo 3

Reescrevendo a integral em coordenadas polares temos
integral duplaD(x^2+y^2),dA = integraltheta=pi/6^pi/4integralr=1^2 l(r^2r)l(r,dr,dthetar) = integralpi/6^pi/4integral1^2 r^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integral1^2 r^3,dr = r^44|1^2 = 164-14 = 154

Passo 5

Agora a integral em theta:
integralpi/6^pi/4154,dtheta = 154l(pi4-pi6r) = 154cdotpi12 = 15pi48 = 5pi16

Resposta

5pi16

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