Questão 4.
Considere a função f(x)=raiz[3]x^3-x^2.
Calcule lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x),
onde
f(x)=raiz[3]x^3 - x^2
O conteúdo envolvido é o comportamento assintótico de funções polinomiais dentro de uma raiz cúbica para valores grandes (positivos e negativos) de x.

Passo 2

Para entender o termo dominante, fatoramos x^3 dentro da raiz cúbica:
f(x) =raiz[3]x^3 - x^2 =raiz[3]x^3l(1 - tfrac1xr) =raiz[3]x^3,raiz[3]1 - tfrac1x =x,raiz[3]1 - tfrac1x

Passo 3

Analisando o limite quando xto+infty:
  • Temos limxto+inftyx=+infty.
  • Além disso, como 1/xto0, fica limxto+inftyraiz[3]1 - tfrac1x =raiz[3]1-0 =1
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limxto+inftyf(x) =limxto+inftyl[x,raiz[3]1 - tfrac1xr] =(+infty)cdot1 =+infty

Passo 4

Analisando o limite quando xto-infty:
  • Agora limxto-inftyx=-infty.
  • E ainda limxto-inftyraiz[3]1 - tfrac1x=1, pois 1/xto0.
    Portanto
limxto-inftyf(x) =limxto-inftyl[x,raiz[3]1 - tfrac1xr] =(-infty)cdot1 =-infty

Resposta

limxto+inftyf(x)=+infty
limxto-inftyf(x)=-infty

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