Use o método das camadas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x.
y=x^3 / 2, y=8, x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume obtido pela rotação da região limitada por y = x^3/2, y = 8 e x = 0 em torno do eixo x. Vamos usar o método das camadas cilíndricas, integrando em y. Precisamos expressar x em função de y.

Passo 2

Da curva y = x^3/2 isolamos x:
x = y^2/3
Para cada y entre 0 e 8, a casca cilíndrica tem raio y (distância ao eixo x), altura igual ao comprimento da região em x, isto é y^2/3, e espessura dy.

Passo 3

O volume de uma casca é
dV = 2pi;(raio);(a<ura),dy = 2pi,ycdot y^2/3,dy = 2pi,y^5/3,dy
Logo
V = 2pi integral0^8 y^5/3,dy

Passo 4

Calculamos a integral:
integral y^5/3,dy = y^8/38/3 = 38,y^8/3,
então
V = 2pi cdot 38,y^8/3|0^8 = 3pi4;8^8/3
Como 8^1/3=2 temos 8^8/3=2^8=256, logo
V = 3pi4cdot256 = 192pi

Resposta

192pi

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