Questão 5.
Considere a função f(x)=x^3-3 x^2+3.
Estude f com relação a máximos e mínimos.

Passo 1

O enunciado pede o estudo de máximos e mínimos da função
f(x)=x^3-3x^2+3
O conteúdo é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e classificá-los usando a segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar os pontos onde a inclinação é zero e estudar monotonicidade:
f'(x)=ddxl(x^3-3x^2+3r)=3x^2-6x=3x(x-2)
Anulando f'(x)=0 obtemos os pontos críticos
x=0e x=2
Para o sinal de f'(x):
  • Se x<0, então x(x-2)>0, logo f'(x)>0 (função crescente).
  • Se 0<x<2, então x(x-2)<0, logo f'(x)<0 (função decrescente).
  • Se x>2, então x(x-2)>0, logo f'(x)>0 (função crescente).

Passo 3

Para classificar cada ponto crítico, usamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(3x^2-6xr)=6x-6
Em x=0:
f''(0)=6cdot0-6=-6<0,
logo é um máximo local.
Em x=2:
f''(2)=6cdot2-6=6>0,
logo é um mínimo local.
Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=0^3-3cdot0^2+3=3, f(2)=2^3-3cdot2^2+3=8-12+3=-1

Resposta

Máximo local em x=0 com valor f(0)=3.
Mínimo local em x=2 com valor f(2)=-1.

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