Calcule usando mudança de variáveis.
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \mathrm{~b}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
Usaremos o método de mudança de variável (substituição) para simplificar essa integral.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 - x^{2},
então
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{-\tfrac12\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac12 \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\tfrac12 \int u^{-\tfrac12}\,du = -\tfrac12 \cdot \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = -\,u^{\tfrac12} + C = -\sqrt{u} + C.
Retornando à variável x, fica
-\sqrt{1-x^{2}} + C.

Resposta

-\sqrt{1-x^{2}} + C

Exercícios relacionados