a) Determine \alpha e \beta de modo que
\operatorname{sen} 5 x \cos 2 x=\frac{1}{2}(\cos \alpha x+\cos \beta x)
b) Calcule \int \operatorname{sen} 5 x \cos 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede, em (a), escrever \sin5x\cos2x na forma
\frac12\bigl(\cos(\alpha x)+\cos(\beta x)\bigr)
usando fórmulas de produto para soma, e em (b) calcular a integral de \sin5x\cos2x. O conteúdo principal é a identidade de produto-soma.

Passo 2

Aplicamos a identidade de produto-soma para senos e cossenos:
\sin A\cos B =\frac12\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].
Tomando A=5x e B=2x, vem
\sin5x\cos2x =\frac12\bigl[\sin(5x+2x)+\sin(5x-2x)\bigr] =\frac12\bigl(\sin7x+\sin3x\bigr).

Passo 3

Comparando
\frac12\bigl(\sin7x+\sin3x\bigr) \quad\text{com}\quad \frac12\bigl(\sin(\alpha x)+\sin(\beta x)\bigr),
vemos que
\alpha=7, \qquad \beta=3.

Passo 4

Para calcular a integral, substituímos a expressão obtida:
\int \sin5x\cos2x\,dx =\frac12\int\bigl(\sin7x+\sin3x\bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \sin7x\,dx=-\frac{\cos7x}{7}, \qquad \int \sin3x\,dx=-\frac{\cos3x}{3}.
Logo
\int \sin5x\cos2x\,dx =\frac12\Bigl(-\frac{\cos7x}{7}-\frac{\cos3x}{3}\Bigr)+C.

Resposta

a) \alpha=7 e \beta=3.
b) \displaystyle \int \sin5x\cos2x\,dx =\frac12\Bigl(-\tfrac{\cos7x}{7}-\tfrac{\cos3x}{3}\Bigr)+C.

Exercícios relacionados