. Calcule, usando as propriedades dos determinantes:
a. |rrra & b & c -d & -e & -f g & h & i|
b. |llca & b & c g & h & i d & e & f|
c. |rrra & b & c d / 2 & e / 2 & f / 2 g & h & i|
d. |llla & d & g b & e & h c & f & i|
e. |rrr2 a & 2 b & 2 c g & h & i d & e & f|
f. |rrra & b & c g+d & h+e & i+f d & e & f|
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz A que é uma matriz 3x3 com determinante igual a 10. O exercício pede pra gente calcular o determinante de algumas variações dessa matriz usando as propriedades dos determinantes. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber como certas operações nas linhas ou colunas da matriz afetam o determinante, como trocar linhas, multiplicar linhas por escalares, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Parte a. A matriz dada é:
a & b & c -d & -e & -f g & h & i
A diferença aqui é que a segunda linha foi multiplicada por -1. Uma propriedade dos determinantes diz que se você multiplicar uma linha por um escalar k , o determinante também é multiplicado por k . Então, multiplicamos a segunda linha por -1.
Passo 3
Aplicando a propriedade:
det(A') = -1 times det(A) = -1 times 10 = -10
Passo 4
Parte b. A matriz dada é:
a & b & c g & h & i d & e & f
Aqui, a segunda e a terceira linhas da matriz original A foram trocadas. Sabemos que trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1.
Passo 5
Aplicando a propriedade:
det(A') = -1 times det(A) = -1 times 10 = -10
Passo 6
Parte c. A matriz dada é:
a & b & c d2 & e2 & f2 g & h & i
Aqui, a segunda linha foi dividida por 2, o que é o mesmo que multiplicar por 12 . Quando multiplicamos uma linha por 12 , o determinante é multiplicado por 12 .
Passo 7
Aplicando a propriedade:
det(A') = 12 times det(A) = 12 times 10 = 5
Passo 8
Parte d. A matriz dada é:
a & d & g b & e & h c & f & i
Essa matriz é a transposta da matriz original A . Uma propriedade importante é que o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.
Passo 9
Aplicando a propriedade:
det(A') = det(A) = 10
Passo 10
Parte e. A matriz dada é:
2a & 2b & 2c g & h & i d & e & f
Aqui, a primeira linha foi multiplicada por 2. Quando multiplicamos uma linha por um escalar k , o determinante também é multiplicado por k .
Passo 11
Aplicando a propriedade:
det(A') = 2 times det(A) = 2 times 10 = 20
Passo 12
Parte f. A matriz dada é:
a & b & c g + d & h + e & i + f d & e & f
Nessa parte, a segunda linha é a soma das linhas segunda e terceira da matriz original. Uma propriedade dos determinantes diz que se você adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha, o determinante não muda.
Passo 13
Então, nesse caso, adicionar a terceira linha (multiplicada por 1) à segunda linha não altera o determinante.