Seja det A=[llla & b & c d & e & f g & h & i]=10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes:
a. |rrra & b & c -d & -e & -f g & h & i|
b. |llca & b & c g & h & i d & e & f|
c. |rrra & b & c d / 2 & e / 2 & f / 2 g & h & i|
d. |llla & d & g b & e & h c & f & i|
e. |rrr2 a & 2 b & 2 c g & h & i d & e & f|
f. |rrra & b & c g+d & h+e & i+f d & e & f|

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz A que é uma matriz 3x3 com determinante igual a 10. O exercício pede pra gente calcular o determinante de algumas variações dessa matriz usando as propriedades dos determinantes. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber como certas operações nas linhas ou colunas da matriz afetam o determinante, como trocar linhas, multiplicar linhas por escalares, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Parte a. A matriz dada é:
a & b & c -d & -e & -f g & h & i
A diferença aqui é que a segunda linha foi multiplicada por -1. Uma propriedade dos determinantes diz que se você multiplicar uma linha por um escalar k , o determinante também é multiplicado por k . Então, multiplicamos a segunda linha por -1.

Passo 3

Aplicando a propriedade:
det(A') = -1 times det(A) = -1 times 10 = -10

Passo 4

Parte b. A matriz dada é:
a & b & c g & h & i d & e & f
Aqui, a segunda e a terceira linhas da matriz original A foram trocadas. Sabemos que trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1.

Passo 5

Aplicando a propriedade:
det(A') = -1 times det(A) = -1 times 10 = -10

Passo 6

Parte c. A matriz dada é:
a & b & c d2 & e2 & f2 g & h & i
Aqui, a segunda linha foi dividida por 2, o que é o mesmo que multiplicar por 12 . Quando multiplicamos uma linha por 12 , o determinante é multiplicado por 12 .

Passo 7

Aplicando a propriedade:
det(A') = 12 times det(A) = 12 times 10 = 5

Passo 8

Parte d. A matriz dada é:
a & d & g b & e & h c & f & i
Essa matriz é a transposta da matriz original A . Uma propriedade importante é que o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

Passo 9

Aplicando a propriedade:
det(A') = det(A) = 10

Passo 10

Parte e. A matriz dada é:
2a & 2b & 2c g & h & i d & e & f
Aqui, a primeira linha foi multiplicada por 2. Quando multiplicamos uma linha por um escalar k , o determinante também é multiplicado por k .

Passo 11

Aplicando a propriedade:
det(A') = 2 times det(A) = 2 times 10 = 20

Passo 12

Parte f. A matriz dada é:
a & b & c g + d & h + e & i + f d & e & f
Nessa parte, a segunda linha é a soma das linhas segunda e terceira da matriz original. Uma propriedade dos determinantes diz que se você adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha, o determinante não muda.

Passo 13

Então, nesse caso, adicionar a terceira linha (multiplicada por 1) à segunda linha não altera o determinante.
det(A') = det(A) = 10

Resposta

a. -10
b. -10
c. 5
d. 10
e. 20
f. 10

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