Dada , determine:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A de ordem n com determinante det A = D . O objetivo é encontrar o valor de det (2A) . Para isso, vamos usar propriedades de determinantes e entender como a multiplicação de uma matriz por um escalar afeta o seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando você multiplica uma matriz por um número escalar, cada elemento da matriz é multiplicado por esse número. No caso, estamos multiplicando a matriz A pelo número 2, resultando na matriz 2A .

Passo 3

Agora, uma propriedade importante dos determinantes diz que se você multiplicar uma única linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar k , o determinante da nova matriz será k vezes o determinante original.

Passo 4

No entanto, no nosso caso, estamos multiplicando toda a matriz por 2, ou seja, todas as n linhas da matriz estão sendo multiplicadas por 2. Então, usamos a propriedade que diz que o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar k em todas as suas linhas é k^n vezes o determinante original.

Passo 5

Aplicando essa propriedade, temos:
det (2A) = 2^n cdot det A
Sabemos que det A = D , então substituindo:
det (2A) = 2^n cdot D

Resposta

Portanto, det (2A) = 2^n cdot D .

Exercícios relacionados