(Provão - MEC - 2001)
O número de soluções do sistema de equações rx+y-z=1 2 x+2 y-2 z=2 5 x+5 y-5 z=7 é
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z). A questão é descobrir quantas soluções esse sistema tem. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de sistemas lineares e algebra linear, especialmente eliminação de variáveis e análise de consistência das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações:
x + y - z = 1 (Equação 1) 2x + 2y - 2z = 2 (Equação 2) 5x + 5y - 5z = 7 (Equação 3) çãçãçã
Observamos que a Equação 2 é simplesmente a Equação 1 multiplicada por 2:
2(x + y - z) = 2(1) Rightarrow 2x + 2y - 2z = 2
Isso significa que a Equação 2 não traz nenhuma informação nova; ela é dependente da Equação 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar a Equação 3:
5x + 5y - 5z = 7
Se dividirmos todos os termos por 5, temos:
x + y - z = 75
Comparando com a Equação 1:
x + y - z = 1
Vemos que 75 neq 1, o que significa que a Equação 3 é inconsistente com a Equação 1.

Passo 4

Como temos duas equações que essencialmente dizem coisas diferentes sobre as mesmas variáveis, isso gera uma contradição. Ou seja, não existe nenhum conjunto de valores para x, y e z que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

(A) 0

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