Calcule usando as propriedades de exponenciais e logaritmos:
2 \log _{4} 8

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico da expressão 2 \log_{4} 8.
Informações dadas: a expressão contém o logaritmo \log_{4} 8 e um fator multiplicativo 2. O objetivo é simplificar usando propriedades de exponenciais e logaritmos e encontrar um número.

Passo 2

Vamos reescrever os números 4 e 8 como potências de 2, porque isso costuma facilitar a manipulação de logaritmos. De fato,
2^{2}=4 e 2^{3}=8. Portanto podemos substituir:
\log_{4} 8=\log_{4}\bigl(2^{3}\bigr).

Passo 3

Usar a propriedade básica dos logaritmos: para quaisquer base b>0 (com b\neq1) e número x>0 e inteiro k,
\log_{b}\bigl(x^{k}\bigr)=k\,\log_{b} x.
Essa propriedade vem da definição de logaritmo: se y=\log_{b} x então b^{y}=x; elevando ambos os lados a k b^{ky}=x^{k}, logo \log_{b}(x^{k})=ky=k\log_{b}x.
Aplicando aqui,
\log_{4}\bigl(2^{3}\bigr)=3\,\log_{4} 2.

Passo 4

Agora precisamos de \log_{4} 2. Seja y=\log_{4}2. Pela definição de logaritmo temos 4^{y}=2. Como 4=2^{2}, substituindo:
(2^{2})^{y}=2 \quad\Rightarrow\quad 2^{2y}=2^{1}.
Comparando os expoentes da mesma base 2 2y=1, então
y=\frac{1}{2}.
Portanto \log_{4}2=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo esse valor em \log_{4}8:
\log_{4}8=3\cdot\log_{4}2=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Finalmente multiplicamos pelo fator 2 que aparece na expressão original:
2\log_{4}8=2\cdot\frac{3}{2}=3.

Resposta

3

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