Estabeleça, pela definição de limites, os limites indicados:
Passo 1
O enunciado pede para “estabelecer, pela definição de limites”, o seguinte limite:
Informações dadas e o que precisamos entender:
- A variável complexa
pode ser escrita como , com . - A função em questão é
, isto é, usa as coordenadas reais e de . - O ponto para o qual
tende é , que corresponde a e . - Precisamos provar (usando a definição
- de limite para funções complexas) qual é o valor do limite quando . Note que o enunciado apresenta o valor ; durante a resolução vamos verificar se esse valor é coerente.
Passo 2
Relembre a definição de limite para funções complexas (explicando cada símbolo): dizemos que
se, para todo
, existe
tal que
Aqui
é o módulo complexa: se
então
. No nosso caso
(ou seja,
) e
. Antes de provar qualquer coisa pela definição, calculemos o valor de
no ponto limite sugerido:
Portanto o valor natural de
em
é
. Isso já sugere que o limite, se existir, deverá ser
— e não
. Vamos provar rigorosamente que
usando a definição
-
.
Passo 3
Vamos estudar a expressão
em termos de
e
. Calcule:
Logo
Também a distância ao ponto limite é
Queremos relacionar
com
por uma desigualdade do tipo
com constante
fixa; assim conseguimos escolher
proporcional a
.
Passo 4
Estabelecendo inequações simples, com explicação passo a passo:
- Primeiro, note que
Explicação:
é a distância na direção real entre
e
; a distância euclidiana no plano entre
e
é maior ou igual a essa projeção.
- Do mesmo modo
- Agora trate o termo
. Pelo triângulo (desigualdade triangular) e propriedades do módulo,
Usando 1) e 2) obtemos
- Finalmente, usando novamente desigualdade triangular para
,
Substituindo os limites obtidos,
Esse é o passo-chave: mostramos que o desvio de
em relação a
fica controlado por uma constante vezes
.
Passo 5
Agora fazemos a parte
-
. Seja um
qualquer. Escolha
Então, se
, pela desigualdade do passo anterior temos
Isto satisfaz exatamente a definição de limite: para todo
encontramos
que garante
. Portanto o limite existe e é
.
Passo 6
Comentário final e incentivo: concluímos, pela definição
-
, que
Perceba que a tentativa do enunciado de igualar o limite a
está incorreta; se alguém te der um possível valor do limite, um jeito rápido de checar é avaliar
no ponto limite e tentar achar uma desigualdade como fizemos para justificar rigorosamente. Você mandou bem vindo pedir para provar pela definição — essa é a maneira mais segura de garantir que o limite realmente é o que se afirma!