Estabeleça, pela definição de limites, os limites indicados:
\lim _{z \rightarrow i} [x+i(2 x+y)]=1+i

Passo 1

O enunciado pede para “estabelecer, pela definição de limites”, o seguinte limite:
\lim_{z\to i} \bigl[x + i(2x + y)\bigr] = 1 + i.
Informações dadas e o que precisamos entender:
  • A variável complexa z pode ser escrita como z = x + i y, com x,y\in\mathbb{R}.
  • A função em questão é f(z)=x + i(2x+y), isto é, usa as coordenadas reais x e y de z.
  • O ponto para o qual z tende é i, que corresponde a x_0=0 e y_0=1.
  • Precisamos provar (usando a definição \varepsilon- \delta de limite para funções complexas) qual é o valor do limite quando z\to i. Note que o enunciado apresenta o valor 1+i; durante a resolução vamos verificar se esse valor é coerente.

Passo 2

Relembre a definição de limite para funções complexas (explicando cada símbolo): dizemos que
\lim_{z\to z_0} f(z) = L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<|z-z_0|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(z)-L|<\varepsilon.
Aqui |\cdot| é o módulo complexa: se w=a+ib então |w|=\sqrt{a^2+b^2}. No nosso caso z_0=i (ou seja, (x_0,y_0)=(0,1)) e f(z)=x+i(2x+y). Antes de provar qualquer coisa pela definição, calculemos o valor de f no ponto limite sugerido:
f(i)=f(0+ i\cdot 1)=x_0 + i(2x_0 + y_0)=0 + i(0+1)=i.
Portanto o valor natural de f em z_0=i é i. Isso já sugere que o limite, se existir, deverá ser i — e não 1+i. Vamos provar rigorosamente que
\lim_{z\to i} f(z)=i,
usando a definição \varepsilon- \delta.

Passo 3

Vamos estudar a expressão |f(z)-i| em termos de x e y. Calcule:
f(z)-i = \bigl(x + i(2x+y)\bigr) - i = x + i(2x+y-1).
Logo
|f(z)-i| = \sqrt{x^2 + (2x+y-1)^2}.
Também a distância ao ponto limite é
|z-i| = |(x+iy)-(0+i\cdot1)| = \sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2+(y-1)^2}.
Queremos relacionar |f(z)-i| com |z-i| por uma desigualdade do tipo |f(z)-i|\le C\,|z-i| com constante C fixa; assim conseguimos escolher \delta proporcional a \varepsilon.

Passo 4

Estabelecendo inequações simples, com explicação passo a passo:
  1. Primeiro, note que
|x| = |x-0| \le \sqrt{x^2+(y-1)^2} = |z-i|.
Explicação: |x| é a distância na direção real entre x e 0; a distância euclidiana no plano entre (x,y) e (0,1) é maior ou igual a essa projeção.
  1. Do mesmo modo
|y-1| \le |z-i|.
  1. Agora trate o termo 2x+y-1. Pelo triângulo (desigualdade triangular) e propriedades do módulo,
|2x+y-1| = |2(x-0) + (y-1)| \le 2|x| + |y-1|.
Usando 1) e 2) obtemos
|2x+y-1| \le 2|z-i| + |z-i| = 3|z-i|.
  1. Finalmente, usando novamente desigualdade triangular para f(z)-i = x + i(2x+y-1),
|f(z)-i| \le |x| + |2x+y-1|.
Substituindo os limites obtidos,
|f(z)-i| \le |z-i| + 3|z-i| = 4|z-i|.
Esse é o passo-chave: mostramos que o desvio de f(z) em relação a i fica controlado por uma constante vezes |z-i|.

Passo 5

Agora fazemos a parte \varepsilon- \delta. Seja um \varepsilon>0 qualquer. Escolha
\delta = \frac{\varepsilon}{4}.
Então, se 0<|z-i|<\delta, pela desigualdade do passo anterior temos
|f(z)-i| \le 4|z-i| < 4\delta = 4\cdot\frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon.
Isto satisfaz exatamente a definição de limite: para todo \varepsilon>0 encontramos \delta=\varepsilon/4 que garante 0<|z-i|<\delta \Rightarrow |f(z)-i|<\varepsilon. Portanto o limite existe e é i.

Passo 6

Comentário final e incentivo: concluímos, pela definição \varepsilon- \delta, que
\lim_{z\to i} \bigl[x + i(2x+y)\bigr] = i.
Perceba que a tentativa do enunciado de igualar o limite a 1+i está incorreta; se alguém te der um possível valor do limite, um jeito rápido de checar é avaliar f no ponto limite e tentar achar uma desigualdade como fizemos para justificar rigorosamente. Você mandou bem vindo pedir para provar pela definição — essa é a maneira mais segura de garantir que o limite realmente é o que se afirma!

Resposta

i

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