Questão 4
Utilize o formalismo lagrangiano para encontrar as equações de movimento de uma partícula de massa
restrita a se mover na superfície de um cilindro definido por
. A partícula está sujeita à força direcionada diretamente à origem e é proporcional à distância da partícula a origem
.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
sujeita à força central
e restrita a permanecer na superfície do cilindro
. Vamos usar o formalismo lagrangiano, escolhendo coordenadas que satisfaçam a restrição automaticamente e construindo a Lagrangiana
em função das coordenadas generalizadas.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas com raio fixo
, ângulo azimutal
e altura
. Assim
e suas velocidades são
A energia cinética é
O potencial, dado por
com
, torna-se
Logo, a Lagrangiana é
Passo 3
Aplicando a equação de Euler–Lagrange em
:
Como
, tem-se
Passo 4
Agora em
:
Passo 5
Portanto as equações de movimento na superfície do cilindro são