Questão 4

Utilize o formalismo lagrangiano para encontrar as equações de movimento de uma partícula de massa m restrita a se mover na superfície de um cilindro definido por x^{2}+y^{2}=R. A partícula está sujeita à força direcionada diretamente à origem e é proporcional à distância da partícula a origem \vec{F}=-k \vec{r}.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m sujeita à força central \vec F=-k\vec r e restrita a permanecer na superfície do cilindro x^{2}+y^{2}=R^{2}. Vamos usar o formalismo lagrangiano, escolhendo coordenadas que satisfaçam a restrição automaticamente e construindo a Lagrangiana L=T-V em função das coordenadas generalizadas.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas com raio fixo r=R, ângulo azimutal \varphi e altura z. Assim
x=R\cos\varphi,\quad y=R\sin\varphi,\quad z=z,
e suas velocidades são
\dot x=-R\dot\varphi\sin\varphi,\quad \dot y=R\dot\varphi\cos\varphi,\quad \dot z=\dot z.
A energia cinética é
T=\frac12\,m\bigl(\dot x^{2}+\dot y^{2}+\dot z^{2}\bigr) =\frac12\,m\bigl(R^{2}\dot\varphi^{2}+\dot z^{2}\bigr).
O potencial, dado por \vec F=-\nabla V com V=\tfrac12 k\,r^{2}, torna-se
V=\frac12\,k\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) =\frac12\,k\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr).
Logo, a Lagrangiana é
L=T-V =\frac12\,m\bigl(R^{2}\dot\varphi^{2}+\dot z^{2}\bigr) -\frac12\,k\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 3

Aplicando a equação de Euler–Lagrange em \varphi:
\frac{\rd}{\rd t}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}\Bigr) -\frac{\partial L}{\partial\varphi}=0.
Como \partial L/\partial\varphi=0, tem-se
\frac{\rd}{\rd t}\bigl(mR^{2}\dot\varphi\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad mR^{2}\ddot\varphi=0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot\varphi=0.

Passo 4

Agora em z:
\frac{\rd}{\rd t}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot z}\Bigr) -\frac{\partial L}{\partial z}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{\rd}{\rd t}(m\dot z)+k\,z=0 \;\Longrightarrow\; m\ddot z + k\,z=0.

Passo 5

Portanto as equações de movimento na superfície do cilindro são
\ddot\varphi = 0, \qquad \ddot z + \frac{k}{m}\,z = 0.

Resposta

\ddot\varphi=0
\ddot z + \tfrac{k}{m}\,z=0

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