QUESTAO 1 (2,5 pontos): Calcule a que se pede:
F(x)=\int \operatorname{sen}^{7} x \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
F(x)=\int \operatorname{sen}^{7}x\,\cos^{3}x\,dx.
Trata-se de um caso clássico de produto de potências de seno e cosseno em que um dos expoentes (aqui o do seno) é ímpar. Nesses casos, extraímos um fator de \cos x\,dx (ou de \operatorname{sen} x\,dx) para usar substituição e transformar tudo em função de uma única razão trigonométrica.

Passo 2

Reescrevemos
\cos^{3}x = \cos^{2}x\;\cos x = \bigl(1-\operatorname{sen}^{2}x\bigr)\cos x.
Assim a integral vira
\int \operatorname{sen}^{7}x\,\cos^{3}x\,dx = \int \operatorname{sen}^{7}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\cos x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen} x, \quad du = \cos x\,dx.
Então
\int \operatorname{sen}^{7}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\cos x\,dx = \int u^{7}(1-u^{2})\,du = \int \bigl(u^{7}-u^{9}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int u^{7}\,du = \frac{u^{8}}{8}, \qquad \int u^{9}\,du = \frac{u^{10}}{10}.
Logo
\int \bigl(u^{7}-u^{9}\bigr)\,du = \frac{u^{8}}{8} \;-\;\frac{u^{10}}{10} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, onde u=\operatorname{sen} x, obtemos
F(x) = \frac{\operatorname{sen}^{8}x}{8} - \frac{\operatorname{sen}^{10}x}{10} + C.

Resposta

F(x)=\frac{\operatorname{sen}^{8}x}{8}-\frac{\operatorname{sen}^{10}x}{10}+C.

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