Calcule, sem usar derivadas:
lim x infty raiz[3]2 x^12+6 xraiz4 x^8-8 x^4+1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyraiz[3]2 x^12+6 xraiz4 x^8-8 x^4+1
sem usar derivadas. O conteúdo aqui é manipulação de radicais em limites infinitos: vamos identificar a potência dominante em cada radical e fatorar para simplificar a expressão.

Passo 2

Para o numerador, observe
raiz[3]2 x^12+6 x =l(2 x^12(1+3 x^-11)r)^1/3 =2^1/3,x^4,(1+3 x^-11)^1/3
Como xtoinfty, temos (1+3 x^-11)^1/3to1. Logo o numerador se comporta como 2^1/3x^4.

Passo 3

Para o denominador, faça
raiz4 x^8-8 x^4+1 =raiz4 x^8l(1-2 x^-4+x^-8/4r) =2,x^4,l(1-2 x^-4+O(x^-8)r)^1/2
Como xtoinfty, l(1-2 x^-4+dotsr)^1/2to1. Logo o denominador se comporta como 2x^4.

Passo 4

Substituindo as fórmulas assintóticas no quociente, obtemos
2^1/3x^42x^4 =2^1/3-1 =2^-2/3

Resposta

2^-2/3

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