Determine o domínio de f(x)=raiz|6-x|+2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o domínio da função f(x) = raiz|6 - x| + 2x - 3 . Isso significa descobrir para quais valores de x a função está definida. Para resolver isso, vamos usar algumas ideias de funções de valor absoluto e raízes quadradas, além de saber resolver inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos que:
|6 - x| + 2x - 3 >= 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação. Como temos um valor absoluto, precisamos considerar dois casos: quando 6 - x é positivo e quando é negativo.
Caso 1: 6 - x >= 0
Isso significa que x <= 6 .
Nessa situação, o valor absoluto simplifica para 6 - x , então a inequação fica:
6 - x + 2x - 3 >= 0
Simplificando:
x + 3 >= 0 implies x >= -3
Então, para esse caso, x deve ser maior ou igual a -3 e menor ou igual a 6.
Caso 2: 6 - x < 0
Isso significa que x > 6 .
Aqui, o valor absoluto vira -(6 - x) = x - 6 , então a inequação fica:
x - 6 + 2x - 3 >= 0
Simplificando:
3x - 9 >= 0 implies 3x >= 9 implies x >= 3
Mas, nesse caso, já sabemos que x > 6 , então a condição final é apenas x > 6 .

Resposta

Juntando os dois casos, o domínio da função é todos os números maiores ou iguais a -3. Ou seja:
boxed, x in [-3, +infty) ,

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