Determine o domínio de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função $ f(x) = \frac{\sqrt{144 - 36x^{2}}}{\tan x} $. Isso está dentro do conteúdo de funções matemáticas e vamos precisar entender restrições de radiciação e de funções trigonométricas para encontrar os valores de $ x $ que tornam a função definida.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada: $ \sqrt{144 - 36x^{2}} $. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ x $. Primeiro, isolamos $ x^{2} $:
Dividindo ambos os lados por 36:
Passo 4
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar os intervalos de $ x $:
Isso significa que $ x $ está entre -2 e 2:
Passo 5
Agora, vamos considerar o denominador da função: $ \tan x $. Para que a função $ f(x) $ seja definida, o denominador não pode ser zero e deve ser definido. Sabemos que $ \tan x $ é indefinido quando $ \cos x = 0 $, ou seja, nos pontos $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é um inteiro. Além disso, $ \tan x = 0 $ quando $ \sin x = 0 $, ou seja, nos pontos $ x = k\pi $.
Passo 6
Portanto, para que $ \tan x $ não seja zero e esteja definido, $ x $ não pode ser múltiplo de $ \pi/2 $. Mas como já restringimos $ x $ a estar entre -2 e 2, precisamos verificar quais múltiplos de $ \pi/2 $ estão nesse intervalo.
Sabemos que $ \pi $ é aproximadamente 3,14, então $ \pi/2 $ é aproximadamente 1,57. Dentro de -2 a 2, os valores que devemos excluir são $ x = -\pi/2 $, $ x = 0 $ e $ x = \pi/2 $.
Passo 7
Resumindo, o domínio da função são todos os números reais entre -2 e 2, exceto $ x = -\pi/2 $, $ x = 0 $ e $ x = \pi/2 $, onde a função não está definida.
Resposta
O domínio de $ f(x) = \frac{\sqrt{144 - 36x^{2}}}{\tan x} $ é: