Considere a função , definida implicitamente por e . Calcule:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma implícita por F(x, y, z) = x^3 z - 2 x y + y z^2 = -4 . Precisamos encontrar a derivada parcial de x em relação a z no ponto P(2,1,0) . Para isso, vamos usar a técnica de derivadas implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação F(x, y, z) = 0 em relação a z . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, lembrando que x é uma função de z e y é constante.
Passo 3
Derivando cada termo:
Termo x^3 z : Aqui usamos a regra do produto:
partialpartial z(x^3 z) = x^3 cdot 1 + z cdot 3x^2 partial xpartial z = x^3 + 3x^2 z partial xpartial z
Termo -2xy : Como y é constante,
partialpartial z(-2xy) = -2y partial xpartial z
Termo y z^2 : Aqui usamos a regra da potência:
partialpartial z(y z^2) = y cdot 2z = 2y z
Passo 4
Juntando todas as derivadas e igualando a zero (já que F = -4 é constante):
x^3 + 3x^2 z partial xpartial z - 2y partial xpartial z + 2y z = 0
Passo 5
Vamos isolar partial xpartial z :
(3x^2 z - 2y) partial xpartial z = -x^3 - 2y z
partial xpartial z = -x^3 - 2y z 3x^2 z - 2y
Passo 6
Agora, substituímos os valores do ponto P(2,1,0) :