Considere a função x=h(y, z), definida implicitamente por F(x, y, z)=x^3 z-2 x y+y z^2=-4 e P(2,1,0). Calcule:
partial xpartial z|P=

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma implícita por F(x, y, z) = x^3 z - 2 x y + y z^2 = -4 . Precisamos encontrar a derivada parcial de x em relação a z no ponto P(2,1,0) . Para isso, vamos usar a técnica de derivadas implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação F(x, y, z) = 0 em relação a z . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, lembrando que x é uma função de z e y é constante.

Passo 3

Derivando cada termo:
  • Termo x^3 z : Aqui usamos a regra do produto:
partialpartial z(x^3 z) = x^3 cdot 1 + z cdot 3x^2 partial xpartial z = x^3 + 3x^2 z partial xpartial z
  • Termo -2xy : Como y é constante,
partialpartial z(-2xy) = -2y partial xpartial z
  • Termo y z^2 : Aqui usamos a regra da potência:
partialpartial z(y z^2) = y cdot 2z = 2y z

Passo 4

Juntando todas as derivadas e igualando a zero (já que F = -4 é constante):
x^3 + 3x^2 z partial xpartial z - 2y partial xpartial z + 2y z = 0

Passo 5

Vamos isolar partial xpartial z :
(3x^2 z - 2y) partial xpartial z = -x^3 - 2y z
partial xpartial z = -x^3 - 2y z 3x^2 z - 2y

Passo 6

Agora, substituímos os valores do ponto P(2,1,0) :
  • x = 2
  • y = 1
  • z = 0
Substituindo na fórmula:
partial xpartial z = -2^3 - 2 cdot 1 cdot 0 3 cdot 2^2 cdot 0 - 2 cdot 1 = -8 - 0 0 - 2 = -8 -2 = 4

Resposta

partial xpartial z|P = 4

Exercícios relacionados