(2.0) Calcule, utilizando coordenadas esféricas, integralegral triplaB z d x d y d z, onde B é o conjunto z >= raizx^2+y^2 e x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

A questão pede o cálculo de integral triplaB z,dx,dy,dz, onde B é o conjunto definido por z>=raizx^2+y^2 e x^2+y^2+z^2<=1. O conteúdo é a mudança para coordenadas esféricas, já que temos uma bola de raio 1 e uma condição de cone.

Passo 2

O cone z=raizx^2+y^2 em coordenadas esféricas — com x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi — corresponde a rhocosphi=rhosinphi, ou seja phi=pi/4.
A região B fica então descrita por 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi e 0<=phi<=pi/4.

Passo 3

O integrando z,dx,dy,dz vira em esféricas: z=rhocosphi e o jacobiano é rho^2sinphi, resultando em rho^3sinphicosphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 4

Agora separamos a integral em três partes:
  • integral0^2pidtheta=2pi
  • integral0^pi/4sinphicosphi,dphi=tfrac12sin^2phi|0^pi/4=tfrac14
  • integral0^1rho^3,drho=tfrac14

Passo 5

Multiplicando tudo: 2pitimestfrac14timestfrac14=tfrac2pi16=tfracpi8.

Resposta

pi8

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