Dentre as coordenadas cilńdricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para:
a) (1.25) Escrever a integral que representa o volume da região limitada abaixo pelo plano z=0, lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1 e acima pelo paraboloide z=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em R^3 limitada por:
– abaixo pelo plano z=0,
– lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1,
– acima pelo paraboloide z=x^2+y^2.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas e montagem de integral tripla para volume.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o elemento de volume é
dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Para cada (r,theta) com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi, a variável z vai de 0 até o paraboloide z=r^2. Assim a integral do volume fica
integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^r^2r,dz,dr,dtheta

Resposta

V ;=;integral0^2pi!integral0^1!integral0^r^2r,dz,dr,dtheta

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