Considere as funções
f(x)=ll 1, & 0 <= x 0, & x<0 e g(x)=ll 0, & 0 <= x 1, & x<0
Em cada parte, verifique se a função dada é contínua em x=0.
g(f(x))

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)= 1, & x>=0, 0, & x<0, g(x)= 0, & x>=0, 1, & x<0,
e pede para verificar se a composição g(f(x)) é contínua em x=0.
Para isso, vamos usar que uma função h é contínua em x=0 se e somente se
limxto0h(x)=h(0)

Passo 2

Vamos calcular g(f(x)) de acordo com o valor de x:
  • Se x<0, então f(x)=0, e daí gl(f(x)r)=g(0)=0, pois 0>=0 implica g(0)=0.
  • Se x>=0, então f(x)=1, e daí gl(f(x)r)=g(1)=0, pois 1>=0 implica g(1)=0.

Passo 3

Concluímos que, para todo xinR,
gl(f(x)r)=0
Logo gcirc f é a função constante zero. Toda função constante é contínua em qualquer ponto, pois
limxto0g(f(x))=0 e g(f(0))=0

Resposta

A composição g(f(x)) é contínua em x=0.

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