Na multiplicação de números complexos na forma polar, seus módulos devem ser multiplicados e seus argumentos devem ser somados
Na divisão de números complexos na forma polar, seus módulos devem ser divididos e seus argumentos devem ser subtraídos
ignorados
discutidos
Sejam os números complexos
z_{1}=1-j
z_{2}=\sqrt{3}+j
z_{3}=-1+j \sqrt{3}
Marque todas as alternativas corretas
Escolha uma ou mais:
a. \quad z_{1} \cdot z_{2}=2 \sqrt{2}\left(\cos -\frac{\pi}{12}+j \sin -\frac{\pi}{12}\right)
b. \frac{1}{z_{3}}=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}-j \sin \frac{2 \pi}{3}\right)
c. \quad \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{12}+j \sin \frac{5 \pi}{12}\right)
d. \quad z_{1} \cdot z_{3}=2 \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{3}+j \sin \frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando a forma polar de números complexos, quais alternativas sobre produtos, divisões e inverso estão corretas. Vamos usar que, em forma polar, para z=r(\cos\theta+j\sin\theta):
z\cdot w = r_z\,r_w\bigl(\cos(\theta_z+\theta_w)+j\sin(\theta_z+\theta_w)\bigr),
\frac{z}{w} = \frac{r_z}{r_w}\bigl(\cos(\theta_z-\theta_w)+j\sin(\theta_z-\theta_w)\bigr),
\frac1z = \frac1r\bigl(\cos(-\theta)+j\sin(-\theta)\bigr).

Passo 2

Calculamos módulo e argumento de cada número:
Para z_1=1-j:
r_1 = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2},\qquad \theta_1 = \atan2(-1,1) = -\frac{\pi}{4}.
z_1 = \sqrt{2}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4})+j\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr).
Para z_2=\sqrt{3}+j:
r_2 = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = 2,\qquad \theta_2 = \atan2(1,\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}.
z_2 = 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{6})+j\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr).
Para z_3=-1+j\sqrt{3}:
r_3 = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = 2,\qquad \theta_3 = \atan2(\sqrt{3},-1) = \frac{2\pi}{3}.
z_3 = 2\bigl(\cos(\tfrac{2\pi}{3})+j\sin(\tfrac{2\pi}{3})\bigr).

Passo 3

Verificando a alternativa (a):
z_1\cdot z_2:\quad r = r_1\,r_2 = \sqrt{2}\cdot2 = 2\sqrt{2},\quad \theta = \theta_1+\theta_2 = -\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6} = -\tfrac{\pi}{12}.
z_1\cdot z_2 = 2\sqrt{2}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{12})+j\sin(-\tfrac{\pi}{12})\bigr),
que coincide exatamente com o item (a). Logo, (a) é correta.

Passo 4

Verificando a alternativa (b):
\frac1{z_3}:\quad r = \frac1{r_3} = \tfrac12,\quad \theta = -\theta_3 = -\tfrac{2\pi}{3}.
Como \cos(-\tfrac{2\pi}{3})=\cos(\tfrac{2\pi}{3}) e \sin(-\tfrac{2\pi}{3})=-\sin(\tfrac{2\pi}{3}),
\frac1{z_3} = \tfrac12\bigl(\cos(\tfrac{2\pi}{3})-j\sin(\tfrac{2\pi}{3})\bigr),
o que bate com o item (b). Logo, (b) é correta.

Passo 5

Verificando (c) e (d) juntas:
Para \displaystyle\frac{z_1}{z_2}:
r = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \theta = \theta_1 - \theta_2 = -\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{6} = -\tfrac{5\pi}{12}.
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(\cos(-\tfrac{5\pi}{12})+j\sin(-\tfrac{5\pi}{12})\bigr),
que é diferente de \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\tfrac{5\pi}{12}+j\sin\tfrac{5\pi}{12}), então (c) é falsa.
Para z_1\cdot z_3:
r = r_1\,r_3 = \sqrt{2}\cdot2 = 2\sqrt{2},\quad \theta = \theta_1+\theta_3 = -\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{12}.
z_1\cdot z_3 = 2\sqrt{2}\bigl(\cos(\tfrac{5\pi}{12})+j\sin(\tfrac{5\pi}{12})\bigr),
que não coincide com \cos(\tfrac{\pi}{3})+j\sin(\tfrac{\pi}{3}), logo (d) é falsa.

Resposta

a e b

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