Questāo 5
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Suponha que 1600 \mathrm{~cm}^{2} de material estão disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, e de maior volume possível. Quais as dimensões dessa caixa?
Escolha uma opção:
a. Base de \frac{20}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm} e altura \frac{40}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm}
b. Base de \frac{20}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm} e altura \frac{20}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm}
c. Base de \frac{40}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm} e altura \frac{40}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm}
d. Base de \frac{40}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm} e altura \frac{20}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm}
e. Base de \frac{40}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm} e altura \frac{10}{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede uma caixa de base quadrada sem tampa, usando 1600 \mathrm{cm}^2 de material, de modo a maximizar o volume. O que vamos precisar é modelar a área total como função das dimensões, usar essa restrição para escrever o volume em uma só variável e aplicar cálculo (derivada) para encontrar o máximo.

Passo 2

Definimos x como o comprimento do lado da base e h como a altura. A área total de material (base + quatro faces) é
x^2 + 4x\,h = 1600.
O volume é
V = x^2\,h.

Passo 3

Da restrição de área isolamos h:
h = \frac{1600 - x^2}{4x}.

Passo 4

Substituindo em V, obtemos uma função de x só:
V(x) = x^2\cdot\frac{1600 - x^2}{4x} = 400x - \frac{x^3}{4}.

Passo 5

Para achar o máximo, calculamos V'(x) e igualamos a zero:
V'(x) = 400 - \frac{3x^2}{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 400 = \frac{3x^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{1600}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{40\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Substituindo x em h = \frac{1600 - x^2}{4x}:
h = \frac{1600 - \frac{1600}{3}}{4\,\frac{40\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3200}{3}}{\frac{160\sqrt{3}}{3}} = \frac{3200}{160\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Concluímos que a base tem lado \tfrac{40\sqrt{3}}{3} \mathrm{cm} e a altura \tfrac{20\sqrt{3}}{3} \mathrm{cm}, que corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d)

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