Calcule 4^{1 / 2} utilizando a definição de potência complexa.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular 4^{1/2} usando a definição de potência no plano complexo. Informações claras:
  • A base é o número real 4 (que também é um número complexo, com parte imaginária zero).
  • O expoente é \tfrac{1}{2}.
    O objetivo é obter todos os possíveis valores de 4^{1/2} segundo a definição complexa (ou seja, considerar a multivaluidade do logaritmo) e indicar o valor principal se for o caso.

Passo 2

Definição de potência complexa — a regra que vamos usar.
  • Para z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} e w\in\mathbb{C} define-se
z^{w} = \exp\big(w\Log z\big),
onde \Log z é o logaritmo complexo multivalorado de z.
  • O logaritmo complexo tem todas as folhas dadas por
\Log z = \ln|z| + i\big(\arg z + 2\pi k\big),\qquad k\in\mathbb{Z},
onde |z| é o módulo e \arg z é um argumento específico (um representante, por exemplo 0 se z>0).
Explicando devagar: \ln|z| é o logaritmo natural do módulo (é um número real). A parte imaginária do log é o argumento de z, que é definido até adição de múltiplos de 2\pi. Por isso \Log z é multivalorado.

Passo 3

Aplicando isso ao caso z=4 e w=\tfrac{1}{2}.
  • Primeiro, escrevo 4 em forma polar. O módulo é |4|=4. Como 4 está sobre o eixo real positivo, um argumento possível é \arg 4 = 0. Mas, lembrando a multivaluidade,
\Log 4 = \ln 4 + i\big(0 + 2\pi k\big) = \ln 4 + i 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Agora uso a definição 4^{1/2}=\exp\big(\tfrac{1}{2}\Log 4\big). Substituindo:
4^{1/2} = \exp\!\left(\tfrac{1}{2}\big(\ln 4 + i 2\pi k\big)\right) = \exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln 4\right)\,\exp\!\left(i\pi k\right).

Passo 4

Simplificando a expressão.
  • A parte real: \exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln 4\right) é igual a \sqrt{4}. Para manipular isso explicitamente:
\exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln 4\right)=e^{\ln 4^{1/2}}=4^{1/2}=\sqrt{4}=2.
  • A parte complexa: \exp(i\pi k)=\cos(\pi k)+i\sin(\pi k). Para k\in\mathbb{Z} isso vale (-1)^k (pois \cos(\pi k)=(-1)^k e \sin(\pi k)=0).
  • Portanto
4^{1/2} = 2\cdot(-1)^k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Interpretando o resultado e extraindo os valores distintos.
  • A fórmula 2(-1)^k para k\in\mathbb{Z} gera apenas dois valores distintos, pois (-1)^{k+2}=(-1)^k.
  • Os dois valores distintos são:
    • para k=0: 2(-1)^0 = 2;
    • para k=1: 2(-1)^1 = -2.
  • Conclusão: as raízes quadradas de 4 no conjunto dos complexos são 2 e -2.

Passo 6

Valor principal e dica para a prova.
  • O valor principal (usando a ramo principal do logaritmo, com \Arg z\in(-\pi,\pi]) toma \Arg 4=0, que corresponde a k=0. Logo o valor principal é 2.
  • Dica prática: sempre que aparecer a^{1/2} com a>0 real, pela definição complexa aparece a ambiguidade de sinal. Em questões que pedem todas as raízes, liste +\sqrt{a} e -\sqrt{a}. Se pedirem o valor principal, escolha o positivo para a>0.

Resposta

2
-2

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