Calcule
utilizando a definição de potência complexa.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular
usando a definição de potência no plano complexo. Informações claras:
- A base é o número real
(que também é um número complexo, com parte imaginária zero). - O expoente é
.
O objetivo é obter todos os possíveis valores desegundo a definição complexa (ou seja, considerar a multivaluidade do logaritmo) e indicar o valor principal se for o caso.
Passo 2
Definição de potência complexa — a regra que vamos usar.
- Para
e define-se
onde
é o logaritmo complexo multivalorado de
.
- O logaritmo complexo tem todas as folhas dadas por
onde
é o módulo e
é um argumento específico (um representante, por exemplo
se
).
Explicando devagar: é o logaritmo natural do módulo (é um número real). A parte imaginária do log é o argumento de
, que é definido até adição de múltiplos de
. Por isso
é multivalorado.
Explicando devagar:
Passo 3
Aplicando isso ao caso
e
.
- Primeiro, escrevo
em forma polar. O módulo é . Como está sobre o eixo real positivo, um argumento possível é . Mas, lembrando a multivaluidade,
- Agora uso a definição . Substituindo:
Passo 4
Simplificando a expressão.
- A parte real:
é igual a . Para manipular isso explicitamente:
- A parte complexa:
. Para isso vale (pois e ). - Portanto
Passo 5
Interpretando o resultado e extraindo os valores distintos.
- A fórmula
para gera apenas dois valores distintos, pois . - Os dois valores distintos são:
- para
: ; - para
: .
- para
- Conclusão: as raízes quadradas de
no conjunto dos complexos são e .
Passo 6
Valor principal e dica para a prova.
- O valor principal (usando a ramo principal do logaritmo, com
) toma
, que corresponde a
. Logo o valor principal é . - Dica prática: sempre que aparecer
com real, pela definição complexa aparece a ambiguidade de sinal. Em questões que pedem todas as raízes, liste e . Se pedirem o valor principal, escolha o positivo para .