Prove, tratando log como função multivalorada, que
\log \left(\frac{1}{z}\right)=-\log z

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a identidade
\log\!\left(\frac{1}{z}\right) = -\log z
quando a função \log é tratada como multivalorada. Informações relevantes e hipóteses implícitas:
  • z é um número complexo diferente de zero (a função log não é definida em z=0).
  • Deve-se usar a definição da função log multivalorada (ou seja, todas as folhas/ramificações da logaritmo complexa).
  • É permitido usar que a operação 1/z inverte o argumento de z modulo 2\pi.

Passo 2

Definição da função log multivalorada (vamos enunciar e explicar cada termo).
A função log multivalorada em um complexo z\ne0 é dada por
\log z = \ln|z| + i\big(\arg z + 2\pi k\big),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicando cada parte:
  • \ln|z| é o logaritmo natural do módulo de z. É um número real.
  • \arg z é um argumento fixo de z (por exemplo o argumento principal), ou seja um real tal que z=|z|e^{i\arg z}.
  • O termo 2\pi k (com k\in\mathbb{Z}) representa as múltiplas folhas da função log: ao adicionar 2\pi ao argumento obtemos a mesma direção, por isso a parte imaginária da log tem esse deslocamento inteiro de 2\pi.

Passo 3

Propriedade do argumento que vamos usar (e por que é verdadeira).
Para z\ne0 vale
\arg\!\left(\frac{1}{z}\right) = -\arg z \pmod{2\pi}.
Justificativa curta: se z=|z|e^{i\arg z} então
\frac{1}{z}=\frac{1}{|z|}e^{-i\arg z},
portanto qualquer argumento de 1/z difere de -\arg z por um múltiplo de 2\pi. Em termos de representações com índices inteiros, se escolhermos uma folha com índice k para \arg z, então uma folha para o argumento de 1/z pode ser escrita como -\arg z + 2\pi m com m\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Calcular explicitamente \log(1/z) pela definição multivalorada.
Usando a definição do passo 2 e a propriedade do passo 3, escrevemos todas as folhas de \log(1/z):
\log\!\left(\frac{1}{z}\right) = \ln\!\left|\frac{1}{z}\right| + i\big(\arg\!\left(\tfrac{1}{z}\right) + 2\pi m\big), \qquad m\in\mathbb{Z}.
Agora \ln\!\left|\tfrac{1}{z}\right| = -\ln|z| e \arg\!\left(\tfrac{1}{z}\right) = -\arg z + 2\pi r para algum r\in\mathbb{Z}. Substituindo:
\log\!\left(\frac{1}{z}\right) = -\ln|z| + i\big(-\arg z + 2\pi r + 2\pi m\big).
Agrupando os múltiplos de 2\pi num único inteiro n=r+m\in\mathbb{Z}, obtemos
\log\!\left(\frac{1}{z}\right) = -\ln|z| - i\arg z + i2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Comparar com -\log z e ver como as folhas se correspondem.
Escrevendo -\log z a partir da definição:
-\log z = -\big(\ln|z| + i(\arg z + 2\pi k)\big) = -\ln|z| - i\arg z - i2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora observe que as expressões para \log(1/z) e -\log z são iguais se escolhermos n=-k. Mais explicitamente, para cada k\in\mathbb{Z} existe n=-k\in\mathbb{Z} tal que
-\ln|z| - i\arg z + i2\pi n = -\ln|z| - i\arg z - i2\pi k.
Portanto cada folha (cada valor) de \log(1/z) coincide com a negativa de alguma folha de \log z, e vice-versa.

Passo 6

Interpretação final em termos de função multivalorada (igualdade de conjuntos de valores).
A função log multivalorada associa a cada z\ne0 um conjunto de valores
\Log(z)=\{\ln|z| + i(\arg z + 2\pi k)\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Pelos passos anteriores obtemos a igualdade de conjuntos
\Log\!\left(\tfrac{1}{z}\right)=\{-w \mid w\in\Log(z)\}.
Em palavras: o conjunto de todas as folhas de \log(1/z) é exatamente o conjunto dos negativos das folhas de \log z. Isso é precisamente o significado correto, quando se trata \log como função multivalorada, da identidade desejada.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a ideia (pequena verificação numérica).
Escolha z=e^{i\theta} (então |z|=1 e \ln|z|=0). As folhas são
\log z = i(\theta + 2\pi k).
Para 1/z=e^{-i\theta} as folhas são
\log\!\left(\tfrac{1}{z}\right)= i(-\theta + 2\pi n).
Tomando n=-k obtemos i(-\theta+2\pi(-k))=-i(\theta+2\pi k)=-\log z, como prometido.

Passo 8

Observação final sobre domínio e unicidade de ramos.
  • A igualdade acima exige z\ne0.
  • Se se fixar um ramo (por exemplo o ramo principal onde se toma k=0 e \arg z\in(-\pi,\pi]), a identidade pode falhar como igualdade entre valores determinados (aparecem diferenças por múltiplos de 2\pi i). Mas como a questão pediu que se trate \log como multivalorada, a igualdade de conjuntos de folhas é a forma correta e verdadeira.

Resposta

\log\!\left(\dfrac{1}{z}\right) = -\log z

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