Prove que a função
, é univalente (monovalorada) se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
e pede para provar que essa função é univalente (monovalorada), isto é, assume um só valor para cada
, se, e somente se,
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão
deve ser entendida no sentido usual de potência complexa: , onde é o logaritmo complexo, que é multivalorado. - O domínio considerado é
. - A conclusão a ser mostrada é uma equivalência: (i) se
então é monovalorada; (ii) se é monovalorada então .
Passo 2
Vou explicar o conceito de logaritmo complexo e por que ele é multivalorado — isso é essencial para entender por que
pode ser multivalorado.
Para
escrevemos
em forma polar:
onde
e
é um argumento de
. O argumento é multivalorado: se
é um argumento, então
(com
) também é um argumento. O logaritmo complexo genérico é
Ou seja,
tem as infinitas folhas
.
A potência complexa é definida por
e por causa da multivaluidade de
obtemos, em geral, várias possíveis imagens para
, correspondendo aos diferentes
.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente as distintas “folhas” (valores possíveis) de
. Tomando um representante
com uma escolha de
, ao usar a folha indicada por
obtemos
Separando fatores:
Note que apenas o fator
depende de
; os fatores
e
dependem de
mas não da folha
.
Portanto as diferentes folhas para um mesmo
são obtidas multiplicando um valor base por
com
.
Passo 4
Provo a direção “se
então
é monovalorada”.
Suponha
com
. Então, usando a expressão anterior,
Logo para todo
temos
, e isso é independente de
. Assim não há ambiguidade:
toma um único valor para cada
. (Isto também coincide com a definição algébrica usual:
é bem definida como produto repetido se
, e para
é
, também bem definida em
.)
Portanto
implica que
é monovalorada em
.
Passo 5
Provo a direção contrária: "se
é monovalorada então
".
Suponha que
seja monovalorada, isto é, que para todo
a escolha de
não altera o valor de
. Em particular, para qualquer
os dois valores correspondentes aos índices
e
devem coincidir:
Usando a forma fatorada,
Cancelando os fatores comuns (que são não nulos) obtemos
A igualdade acima não depende de
: é uma condição só sobre
. Agora resolvemos essa equação exponencial. Se
for, em geral, um número complexo
, a equação
significa que
é um múltiplo inteiro de
, isto é
Dividindo por
obtemos
. Portanto a única possibilidade para que
seja verdadeira é
.
Assim, a monovaluidade de
implica
.
Passo 6
Exemplos e intuição rápida para fixar a ideia:
- Se
então tem duas folhas: e . Ou seja, as duas escolhas diferem por sinal — função multivalorada. - Se
então é single-valued: independentemente de acrescentar ao argumento, e não muda nada.
Esses exemplos mostram concretamente a condiçãoe a sua equivalência com .
Resposta
A função
é univalente (monovalorada) se, e somente se,
.