Prove que a função f(z)=z^{c}, \operatorname{com} z \neq 0, é univalente (monovalorada) se, e somente se, c \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=z^{c} definida para z\neq0 e pede para provar que essa função é univalente (monovalorada), isto é, assume um só valor para cada z\neq0, se, e somente se, c\in\mathbb{Z}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão z^{c} deve ser entendida no sentido usual de potência complexa: z^{c}=e^{c\log z}, onde \log z é o logaritmo complexo, que é multivalorado.
  • O domínio considerado é \mathbb{C}\setminus\{0\}.
  • A conclusão a ser mostrada é uma equivalência: (i) se c\in\mathbb{Z} então z^{c} é monovalorada; (ii) se z^{c} é monovalorada então c\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Vou explicar o conceito de logaritmo complexo e por que ele é multivalorado — isso é essencial para entender por que z^{c} pode ser multivalorado.
Para z\neq0 escrevemos z em forma polar:
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 e \theta é um argumento de z. O argumento é multivalorado: se \theta é um argumento, então \theta+2\pi k (com k\in\mathbb{Z}) também é um argumento. O logaritmo complexo genérico é
\log z = \ln r + i(\theta + 2\pi k),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Ou seja, \log z tem as infinitas folhas \ln r + i\theta + 2\pi i k.
A potência complexa é definida por
z^{c} := e^{c\log z},
e por causa da multivaluidade de \log z obtemos, em geral, várias possíveis imagens para z^{c}, correspondendo aos diferentes k.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente as distintas “folhas” (valores possíveis) de z^{c}. Tomando um representante z=r e^{i\theta} com uma escolha de \theta, ao usar a folha indicada por k\in\mathbb{Z} obtemos
z^{c}_{(k)} = \exp\!\big(c(\ln r + i(\theta+2\pi k))\big).
Separando fatores:
z^{c}_{(k)} = e^{c\ln r}\, e^{i c\theta}\, e^{i 2\pi c k}.
Note que apenas o fator e^{i2\pi c k} depende de k; os fatores e^{c\ln r} e e^{i c\theta} dependem de z mas não da folha k.
Portanto as diferentes folhas para um mesmo z são obtidas multiplicando um valor base por e^{i2\pi c k} com k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Provo a direção “se c\in\mathbb{Z} então z^{c} é monovalorada”.
Suponha c=n com n\in\mathbb{Z}. Então, usando a expressão anterior,
e^{i2\pi c k} = e^{i2\pi n k} = \big(e^{i2\pi}\big)^{n k} = 1^{n k} = 1.
Logo para todo k temos z^{c}_{(k)}=e^{n\ln r}e^{i n\theta}, e isso é independente de k. Assim não há ambiguidade: z^{n} toma um único valor para cada z\neq0. (Isto também coincide com a definição algébrica usual: z^{n} é bem definida como produto repetido se n\ge0, e para n<0 é \,z^{n}=1/z^{|n|}, também bem definida em \mathbb{C}\setminus\{0\}.)
Portanto c\in\mathbb{Z} implica que z^{c} é monovalorada em \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Passo 5

Provo a direção contrária: "se z^{c} é monovalorada então c\in\mathbb{Z}".
Suponha que z^{c} seja monovalorada, isto é, que para todo z\neq0 a escolha de k não altera o valor de z^{c}_{(k)}. Em particular, para qualquer z\neq0 os dois valores correspondentes aos índices k=0 e k=1 devem coincidir:
z^{c}_{(1)} = z^{c}_{(0)}.
Usando a forma fatorada,
e^{c\ln r} e^{i c\theta} e^{i2\pi c} = e^{c\ln r} e^{i c\theta}.
Cancelando os fatores comuns (que são não nulos) obtemos
e^{i2\pi c} = 1.
A igualdade acima não depende de z: é uma condição só sobre c. Agora resolvemos essa equação exponencial. Se c for, em geral, um número complexo c=a+ib, a equação e^{i2\pi c}=1 significa que i2\pi c é um múltiplo inteiro de 2\pi i, isto é
i2\pi c = 2\pi i m \quad\text{para algum } m\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2\pi i obtemos c=m\in\mathbb{Z}. Portanto a única possibilidade para que e^{i2\pi c}=1 seja verdadeira é c\in\mathbb{Z}.
Assim, a monovaluidade de z^{c} implica c\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Exemplos e intuição rápida para fixar a ideia:
  • Se c=\tfrac{1}{2} então z^{1/2} tem duas folhas: z^{1/2}_{(0)}=r^{1/2}e^{i\theta/2} e z^{1/2}_{(1)}=r^{1/2}e^{i\theta/2}e^{i\pi}=-r^{1/2}e^{i\theta/2}. Ou seja, as duas escolhas diferem por sinal — função multivalorada.
  • Se c=2 então z^{2} é single-valued: independentemente de acrescentar 2\pi ao argumento, e^{i2\pi\cdot2}=1 e não muda nada.
    Esses exemplos mostram concretamente a condição e^{i2\pi c}=1 e a sua equivalência com c\in\mathbb{Z}.

Resposta

A função f(z)=z^{c} é univalente (monovalorada) se, e somente se, c\in\mathbb{Z}.

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