Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O limite é tomado quando
tende para pela direita, ou seja e pequeno. - Para
temos e , portanto e . - Logo a expressão tem a forma indeterminada
(equivalente ao tipo ).
Passo 2
Breve explicação do instrumento que vamos usar (L’Hospital) e por que isso faz sentido aqui.
Lema (regra de L’Hospital, versão para
): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e
e se o limite
existe (ou é
), então
Intuição simples: quando numerador e denominador explodem para infinito, as suas taxas de crescimento (derivadas) determinam a razão final.
No nosso caso as funções
e
estão bem definidas e diferenciáveis em qualquer intervalo
pequeno, pois para
pequeno temos
e
. Portanto as hipóteses para aplicar L’Hospital (tipo
) estão satisfeitas.
Passo 3
Calcular a derivada do numerador
.
Regra usada: derivada de
é
.
Aqui
e
. Logo
(Se quiseres um nome curto:
, mas vou manter como fração para ficar claro.)
Passo 4
Calcular a derivada do denominador
.
Novamente usamos a regra da cadeia: derivada de
é
.
Aqui
e
. Assim
Agora fazemos uma simplificação algébrica para ficar mais claro. Lembrando que
e
, temos
Passo 5
Aplicar L’Hospital: substituir o limite original pelo limite da razão das derivadas (já calculadas).
Temos
Agora simplificamos essa expressão passo a passo. Primeiro escrevendo a divisão como multiplicação:
Corta-se
(não é zero para
) e fica
Portanto o limite virou
Passo 6
Avaliar o limite final. A função
é contínua em todo lugar, logo o limite quando
é simplesmente o valor no ponto
:
Resposta
1