Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\operatorname{sen} x)}{\ln (\operatorname{tg} x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\ln(\operatorname{tg} x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O limite é tomado quando x tende para 0 pela direita, ou seja x>0 e pequeno.
  • Para x\to 0^{+} temos \sin x\to 0^{+} e \tan x\to 0^{+}, portanto \ln(\sin x)\to -\infty e \ln(\tan x)\to -\infty.
  • Logo a expressão tem a forma indeterminada \frac{-\infty}{-\infty} (equivalente ao tipo \frac{\infty}{\infty}).

Passo 2

Breve explicação do instrumento que vamos usar (L’Hospital) e por que isso faz sentido aqui.
Lema (regra de L’Hospital, versão para \infty/\infty): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e
\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty,
e se o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Intuição simples: quando numerador e denominador explodem para infinito, as suas taxas de crescimento (derivadas) determinam a razão final.
No nosso caso as funções f(x)=\ln(\sin x) e g(x)=\ln(\tan x) estão bem definidas e diferenciáveis em qualquer intervalo (0,\varepsilon) pequeno, pois para x>0 pequeno temos \sin x>0 e \tan x>0. Portanto as hipóteses para aplicar L’Hospital (tipo \infty/\infty) estão satisfeitas.

Passo 3

Calcular a derivada do numerador f(x)=\ln(\sin x).
Regra usada: derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=\sin x e u'(x)=\cos x. Logo
f'(x)=\frac{\cos x}{\sin x}.
(Se quiseres um nome curto: f'(x)=\cot x, mas vou manter como fração para ficar claro.)

Passo 4

Calcular a derivada do denominador g(x)=\ln(\tan x).
Novamente usamos a regra da cadeia: derivada de \ln(v(x)) é \dfrac{v'(x)}{v(x)}.
Aqui v(x)=\tan x e v'(x)=\operatorname{sec}^2 x. Assim
g'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}.
Agora fazemos uma simplificação algébrica para ficar mais claro. Lembrando que \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos
g'(x)=\frac{1/\cos^2 x}{\sin x/\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 5

Aplicar L’Hospital: substituir o limite original pelo limite da razão das derivadas (já calculadas).
Temos
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\sin x)}{\ln(\tan x)} =\lim_{x\to 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\dfrac{\cos x}{\sin x}}{\dfrac{1}{\sin x\cos x}}.
Agora simplificamos essa expressão passo a passo. Primeiro escrevendo a divisão como multiplicação:
\frac{\dfrac{\cos x}{\sin x}}{\dfrac{1}{\sin x\cos x}} =\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{\sin x\cos x}{1}.
Corta-se \sin x (não é zero para x\in(0,\varepsilon)) e fica
\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \sin x\cos x = \cos^2 x.
Portanto o limite virou
\lim_{x\to 0^{+}} \cos^2 x.

Passo 6

Avaliar o limite final. A função \cos^2 x é contínua em todo lugar, logo o limite quando x\to 0^{+} é simplesmente o valor no ponto 0:
\lim_{x\to 0^{+}} \cos^2 x = \cos^2 0 = 1^2 = 1.

Resposta

1

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