Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
(b) mathscrLintegral0^t tau sin (tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de transformadas de Laplace e integrais definidas. Para resolver, vamos precisar das propriedades da transformada de Laplace e saber como lidar com integrais de funções que envolvem senos e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma integral de uma função mathscrLintegral0^t f(tau) dtau = F(s)s desde 0 até pode ser encontrada usando a propriedade da transformada da integral. A propriedade nos diz que:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é . Então, precisamos primeiro encontrar a transformada de Laplace de , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar mathscrLt sin(at) = 2 a s(s^2 + a^2)^2 , usamos uma fórmula padrão da transformada de Laplace para mathscrLtau sin(tau) = 2 s(s^2 + 1)^2 , que é:
No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 5

Agora que temos mathscrLintegral0^t tau sin (tau) d tau = 1s cdot 2 s(s^2 + 1)^2 , aplicamos a propriedade da transformada da integral mencionada no Passo 2:

Passo 6

Simplificando a expressão:
1s cdot 2 s(s^2 + 1)^2 = 2 ss (s^2 + 1)^2 = 2(s^2 + 1)^2

Resposta

A transformada de Laplace da função mathscrLintegral0^t tau sin (tau) d tau = 2(s^2 + 1)^2 é:

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