Calcule, utilizando a técnica da substituição de variável, a seguinte integral indefinida :
integral 4 x^2(1-8 x^3)^4 cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O exercício pede para calcular:
integral 4 x^2(1-8 x^3)^4 cdot d x
Aqui, vamos usar a técnica de substituição de variável, que é super útil para simplificar integrais complicadas. Precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar tudo mais simples escolhendo uma substituição adequada. Olhando para o denominador, temos 1 - 8x^3. Vamos chamar isso de u:
u = 1 - 8x^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é du/dx. Vamos calcular:
dudx = -24x^2
Isso significa que:
du = -24x^2 dx

Passo 4

Precisamos expressar x^2 dx em termos de du. Isolando, temos:
x^2 dx = -124 du

Passo 5

Substituímos u e x^2 dx na integral original:
integral 4 x^2(1-8 x^3)^4 dx = integral 4 cdot (-124 du)u^4 = -16 integral u^-4 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-4 em relação a u:
integral u^-4 du = u^-3-3 + C = -13 u^-3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicamos pela constante que tínhamos fora da integral:
-16 cdot (-13 u^-3) = 118 u^-3 + C

Passo 8

Por fim, substituímos u de volta em termos de x:
118 (1 - 8x^3)^-3 + C = 118 cdot (1 - 8x^3)^3 + C

Resposta

A integral indefinida é:
118 cdot (1 - 8x^3)^3 + C

Exercícios relacionados