(a) Na expressão seguinte x=k v^na, x representa uma comprimento ou distância ([L]), v uma velocidade ([L] /[T]), a aceleração ([L] /[T]^2) e k representa uma constante adimensional. Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja fisicamente correta?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a expressão $ x = k \frac{v^{n}}{a} $, onde:
  • $ x $ representa um comprimento ou distância, com unidade x = k v^na .
  • $ v $ é a velocidade, com unidade x .
  • $ a $ é a aceleração, com unidade [L].
  • $ k $ é uma constante adimensional, ou seja, não tem unidade.
O que precisamos descobrir é o valor do expoente $ n $ que torna essa expressão fisicamente correta, ou seja, que faz com que as unidades de ambos os lados da equação sejam iguais.

Passo 2

Para garantir que a expressão seja fisicamente correta, as unidades de ambos os lados da equação devem ser iguais. Vamos analisar as unidades de cada parte da expressão.
Primeiro, sabemos que $ x $ tem unidade x . Então, a unidade do lado direito da equação também deve ser [L].

Passo 3

Agora vamos analisar as unidades do lado direito da expressão $ k \frac{v^{n}}{a} $.
Sabemos que:
  • $ v $ tem unidade k v^na , então $ v^{n} $ terá unidade v .
  • $ a $ tem unidade [LT].
Portanto, a unidade de $ \frac{v^{n}}{a} $ será:
v^n

Passo 4

Queremos que a unidade de $ \frac{v^{n}}{a} $ seja igual a v^na . Então, igualamos as unidades:
[L]
Isso nos dá duas equações:
  1. Para $ L $:
L^n-1 T^2 - n = L^1 T^0
  1. Para $ T $:
L

Resposta

O valor do expoente $ n $ deve ser igual a 2 para que a expressão seja fisicamente correta.

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