Considere a superfície definida pela equação
.
Esboce a superfície.
Esboce a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente tem a equação da superfície:
O conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre superfícies quadricas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os tipos de superfícies que podem ser representadas por equações com termos quadráticos e como identificar e esboçar essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar a identificação da superfície. Podemos escrever:
Isso nos ajuda a ver melhor os sinais dos termos.
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação geral para uma hipérbole de duas variáveis é algo parecido com isso, mas aqui temos três variáveis. A presença de dois termos negativos e um positivo sugere que estamos tratando de um hiperbóide.
Passo 4
Existem dois tipos principais de hiperbóides:
- Hiperbóide de uma folha: onde a equação tem a forma $ \frac{y{2}}{a{2}} - \frac{x{2}}{b{2}} - \frac{z{2}}{c{2}} = 1 $.
- Hiperbóide de duas folhas: onde a equação tem a forma $ -\frac{y{2}}{a{2}} + \frac{x{2}}{b{2}} + \frac{z{2}}{c{2}} = 1 $.
Comparando com a nossa equação $ y^{2} - x^{2} - z^{2} = 1 $, vemos que ela se assemelha à forma do hiperbóide de uma folha.
Passo 5
Para esboçar o hiperbóide de uma folha, podemos analisar seus cortes:
-
Corte com o plano $ y = 0 $: Substituindo $ y = 0 $ na equação, temos $ -x^{2} - z^{2} = 1 $, o que não tem solução real. Isso significa que a superfície não corta o plano $ y = 0 $.
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Corte com o plano $ x = 0 $: Substituindo $ x = 0 $, a equação fica $ y^{2} - z^{2} = 1 $, que é uma hipérbole no plano $ yz $.
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Corte com o plano $ z = 0 $: Substituindo $ z = 0 $, temos $ y^{2} - x^{2} = 1 $, que também é uma hipérbole no plano $ xy $.
Passo 6
Além disso, observamos que à medida que $ y $ aumenta, tanto $ x $ quanto $ z $ também aumentam em magnitude para manter a igualdade. Isso indica que a superfície se estende infinitamente em ambas as direções ao longo do eixo $ y $.
Passo 7
Para completar o esboço, podemos identificar o eixo de simetria da superfície, que nesse caso é o eixo $ y $. A superfície é simétrica em relação a esse eixo e se assemelha a uma sela ou a duas folhas conectadas pelo eixo.
Resposta
A superfície definida pela equação $ -x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1 $ é um hiperbóide de uma folha. O esboço dessa superfície mostra uma forma semelhante a uma sela, com simetria ao redor do eixo $ y $ e estendendo-se infinitamente em ambas as direções ao longo desse eixo.