Determine o limite caso exista ou mostre que ele não existe.
lim substack(x, y) (1,1) x neq 1 x y-y-2 x+2x-1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função
lim substack(x, y) (1,1) x neq 1 x y - y - 2 x + 2x - 1
quando (x, y) se aproxima de (1,1), mas com a condição de que x neq 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Olhando para xy - y - 2x + 2, podemos tentar fatorar termos comuns:
xy - y - 2x + 2 = y(x - 1) - 2(x - 1) = (y - 2)(x - 1)
Então, nosso limite fica:
lim substack(x, y) (1,1) x neq 1 (y - 2)(x - 1)x - 1

Passo 3

Agora, percebemos que (x - 1) está presente no numerador e no denominador. Desde que x neq 1, podemos simplificar essa fração cancelando x - 1:
(y - 2)(x - 1)x - 1 = y - 2
Então, o limite agora se reduz a:
lim (x, y) (1,1) (y - 2)

Passo 4

Agora, a função ficou bem mais simples: y - 2. Para encontrar o limite quando (x, y) se aproxima de (1,1), basta substituir y por 1:
lim (x, y) (1,1) (y - 2) = 1 - 2 = -1

Resposta

O limite é igual a -1.

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